Trabalho De C Lculo 19 11 2012

1.1 Volume de um sólido de Revolução

Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas tem formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo solido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porem antes que a teoria do Calculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Calculo, os métodos descritos a seguir são os mais básicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente, no decorrer dos próximos volumes aprenderemos a calcular formas mais complexas. Por hora, os cálculos que aqui serão apresentados já fornecem uma gama de aplicações bem ampla no nosso mundo onde a industria usa cada vez mais curvas em seus produtos, obviamente teremos curvas matematicamente determináveis para estes casos, uma vez que o homem geralmente usa métodos de computação para criar seus produtos hoje em dia.

Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. Por exemplo, fazendo a região limitada pelas curvas y=0, y=x e x=4 girar em torno dos eixos do x, o sólido de revolução obtido é um cone (ver figura 1.1).

Se o retângulo delimitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e y=3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro (ver figura 1.2 ).

Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região plana R (ver figura 1.3).

Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [a, b]. Consideremos uma partição P de [a,b], dada por: a = x0 < x1 < ... < x i-1 < xi < ... < xn = b.
Seja ∆xi= xi - xi-1 o