Trabalho de matemática

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Matemática para Computação Prof. Rodrigo Orsini Braga Mais exercícios de Indução
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA (PIM)
Se pretendemos provar que uma propriedade p n se verifica no conjunto IN, devemos provar que:  p(n) verifica-se para o número a (menor natural para o qual a sentença verifica-se ser verdadeira). 

p k ⇒ p k 1 , ∀ k a , ou seja, supondo-se a propriedade p(n) verdadeira para um número natural k , qualquer, k a , então a propriedade p(n) verifica-se para k 1 .

Então, podemos concluir que p n é verdadeira, ∀ n∈ℕ , na .

Exercício 1: Prove que 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2 , ∀ n∈ℕ , n1 . Solução: Você conseguiu compreender o que a soma acima representa? É uma soma de números naturais, começando em 3, e sempre de 6 em 6. Assim, com um termo  n=1  , temos que a soma é o primeiro termo, isto é, 3=3⋅12 ; com dois termos  n=2  , temos 39= 12 =3⋅2 2 ; com três termos  n=3 , temos 3915= 27 =3⋅32 ; e assim por diante. Queremos verificar, que para qualquer quantidade n de termos, a soma 3915...6 n−3=3 n 2 . Note que 6 n−3 é o n-ésimo termo da soma. Devemos verificar a validade da fórmula acima por indução: (Base de Indução) Verifiquemos que é válida para n=1. Temos que o primeiro termo da sequência é 3 e, por outro lado, 312=3 . Logo, a propriedade é verdadeira, para n =1. (Passo de Indução) Suponhamos que a propriedade se verifica para um número arbitrário k , k 1 , isto é,

3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) = 3k 2 (hipótese de indução)
Vamos provar que a hipótese acima implica que a propriedade seja verdadeira para k+1, isto é, que
2 2 3 + 9 + 15 + ... + (6(k + 1) − 3) = 3( k + 1) , ou seja, 3 + 9 + 15 + ... + (6k + 3) = 3( k + 1)

Se adicionarmos 6k + 3 , nº que se segue ao 6k − 3 na sequência, aos dois membros da hipótese de indução, fica-se com

3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) + 6k + 3 = 3k 2 + (6k + 3) , que é o mesmo que
3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) + 6k + 3 = 3(k 2 + 2k