Trabalho de matemática

Páginas: 7 (1674 palavras) Publicado: 23 de setembro de 2011
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Matemática para Computação Prof. Rodrigo Orsini Braga Mais exercícios de Indução
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA (PIM)
Se pretendemos provar que uma propriedade p n se verifica no conjunto IN, devemos provar que:  p(n) verifica-se para o número a (menor natural para o qual a sentença verifica-se ser verdadeira). 

p k ⇒ p k 1 , ∀ k a , ou seja,supondo-se a propriedade p(n) verdadeira para um
número natural k , qualquer, k a , então a propriedade p(n) verifica-se para k 1 .

Então, podemos concluir que p n é verdadeira, ∀ n∈ℕ , na .

Exercício 1: Prove que 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2 , ∀ n∈ℕ , n1 . Solução: Você conseguiu compreender o que a soma acima representa? É uma soma de números naturais, começando em 3, e semprede 6 em 6. Assim, com um termo  n=1  , temos que a soma é o primeiro termo, isto é, 3=3⋅12 ; com dois termos  n=2  , temos 39= 12 =3⋅2 2 ; com três termos  n=3 , temos 3915= 27 =3⋅32 ; e assim por diante. Queremos verificar, que para qualquer quantidade n de termos, a soma 3915...6 n−3=3 n 2 . Note que 6 n−3 é o n-ésimo termo da soma. Devemos verificar a validade da fórmula acimapor indução: (Base de Indução) Verifiquemos que é válida para n=1. Temos que o primeiro termo da sequência é 3 e, por outro lado, 312=3 . Logo, a propriedade é verdadeira, para n =1. (Passo de Indução) Suponhamos que a propriedade se verifica para um número arbitrário k , k 1 , isto é,

3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) = 3k 2 (hipótese de indução)
Vamos provar que a hipótese acima implica que apropriedade seja verdadeira para k+1, isto é, que
2 2 3 + 9 + 15 + ... + (6(k + 1) − 3) = 3( k + 1) , ou seja, 3 + 9 + 15 + ... + (6k + 3) = 3( k + 1)

Se adicionarmos 6k + 3 , nº que se segue ao 6k − 3 na sequência, aos dois membros da hipótese de indução, fica-se com

3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) + 6k + 3 = 3k 2 + (6k + 3) , que é o mesmo que
3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) + 6k + 3 = 3(k 2 + 2k+ 1)= 3( k + 1) ,
2

como queríamos provar. Portanto, pode-se concluir, pelo Princípio da Indução Matemática, que a proprifedade é válida ∀ n∈ℕ , n1 .

J

Exercício 2: Vamos procurar uma fórmula fechada para a soma das frações abaixo:

1 1 1 1     . 1⋅2 2⋅3 3⋅4 n⋅n1 1 1 = ; 1⋅2 2 1 1 1 1 31 4 2  =  = = = ; 1⋅2 2⋅3 2 6 6 6 3 1 1 1 1 1 1 621 9 3   =   = = = ; 1⋅2 2⋅3 3⋅42 6 12 12 12 4 1 1 1 1 1 1 1 1 30105  3 48 4    =    = = = . 1⋅2 2⋅3 3⋅4 4⋅5 2 6 12 20 60 60 5
n , mas como ter certeza deste n1

Para n=1 , temos: Para n=2 , temos: Para n=3 , temos: Para n=4 , temos:

Ao que tudo indica, parece que o resultado da soma é sempre

resultado? Como saber que nunca falhará? Para termos esta certeza, vamos usar a Indução Matemática. Queremos entãoprovar que, para qualquer natural n1 ,
1 1 1 1 n     = . 1⋅2 2⋅3 3⋅4 n⋅ n1 n1

Vejamos: (1) (Base de Indução). Vamos verificar que a fórmula acima se verifica para n=1 . Sabemos que, para um só termo, a soma é o próprio primeio termo, isto é,

1 n . Por outro lado, substituindo-se n=1 em , 2 n1

obtemos

1 1 = , que é exatamente igual ao primeiro termo, como deveria mesmo ser. 112
1 1 1 1 k     = . 1⋅2 2⋅3 3⋅4 k⋅k 1 k 1

(2) (Passo de Indução). Suponhamos, que, para certo valor k ∈ℕ , k 1 , a fórmula se verifique, isto é,

A mostrar: que se a proposição acima se verificar para k , também se verificará para k 1 , ou seja,

1 1 1 1 1 k 1      = . 1⋅2 2⋅3 3⋅4 k⋅k 1 k 1⋅k 11 k 2
Temos que:

[
=

1 1 1 1 1 k 1      =  = 1⋅22⋅3 3⋅4 k⋅k 1 k 1⋅ k11 k 1  k 1⋅ k 11

]

2 k  k 21 k 1 k1 k 2 k 1 k 1 = = = . Como queríamos demonstrar. Logo, o k 1k 2  k 1 k 2 k 1k 2 k 2

Princípio da Indução garante que

1 1 1 1 n     = , para todo n1 . J 1⋅2 2⋅3 3⋅4 n⋅ n1 n1

Exercício 3: Vamos mostrar que 2 n  n2 , ∀ n5 . Temos que ter cuidado com este tipo de...
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