Trabalho de matemática completo

Páginas: 9 (2030 palavras) Publicado: 5 de março de 2013
Araruama
2012
DefiniçãoAchar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica.
As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1o e 2o graus.
Em seus trabalhos, Al-Khowarizmi usou pela primeira vez o termo “álgebra”, que significa “trocar de membro” um termo deuma equação.
Porém, só no século XVI, no Renascimento, é que os matemáticos italianos Girolano Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1500-1557) e Ludovico Ferrari (1522-1565) começaram a propor fórmulas para resolver equações de 3o e 4o graus. No entanto, a resolução de equações de grau superior ao 4o ainda continua sendo um grande desafio.
Em 1798, em sua tese de doutoramento, o matemáticoalemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou que “toda equação de grau n (n  N*) admite pelo menos uma raiz complexa”, o que ficou conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra.
Em 1824, o matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) demonstrou que uma equação do 5ograu não poderia ser resolvida através de fórmulas envolvendo radicais.
Em 1829, o jovem matemático francês ÉvaristeGalois (1811-1832) demonstrou que a impossibilidade descoberta por Abel se estendia a todas as equações polinomiais de grau maior que o 4o.
As descobertas de Abel e Galois não significam, no entanto, que nunca poderemos conhecer as raízes de uma equação de grau maior que o 4o. Existem teoremas gerais que, associados a condições particulares, permitem que descubramos soluções de equações destetipo.Teoremas FundamentaisTeorema Fundamental da ÁlgebraToda equação polinomial de grau n, n  1, admite pelo menos uma raiz complexa.Teorema da DecomposiçãoAdmitamos que 1 é uma raiz da equação de grau n, (n  1):P(x) = a0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an = 0
Dividindo P(x) por (x – 1), encontramos um quociente Q1(x) e resto R1 = P(1) = 0Então:
Q1(x) tem grau n – 1 e, se n – 1  1, a equação Q1(x) = 0possui pelo menos uma raiz 2. Dividindo Q1(x) por (x – 2), encontramos um quociente Q2(x) e resto R2 = Q1(2) = 0.Então:
Ou seja:
Prosseguindo nesse raciocínio, chegaremos, após um número finito de divisões, a um polinômio constante Qn(x) = R, tal que:

Através da identidade:
= a0xn +...+ an–2x2 + an–1x + an, é fácil percebermos que k = an | | | | Denominamos equação polinomial ou equaçãoalgébrica de grau n, na variável x  C, toda equação que pode ser reduzida à forma:
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0
em que:
an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes.
Exemplos
1o) 3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1ograu.
2o) 5x3 – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3ograu.
3o)  + ix + 1 = 0 é uma equação algébrica de 5o grau.
Chamamos de raiz ou zero de umaequação polinomial  P(x) = 0  todo número complexo , tal que P() = 0.
 é raiz de P(x) = 0  P() = 0
Exemplo
1 é raiz da equação x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0, pois13 – 3 · 12 + 3 · 1 + 1 = 0
Conjunto solução de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as raízes da equação.
Resolver uma equação é obter o seu conjunto verdade.
Exemplos1o) Resolver a equação x3 – 4x2 + 3x = 0Resoluçãox3 – 4x2 + 3x = 0  x (x2 – 4x + 3) = 0 Então:x = 0oux2 – 4x + 3 = 0  x = 3 ou x = 1
Assim:
S = {0, 1, 3} (conjunto solução).
2o) Resolver a equação:
x3 + x2 – 3x – 3 = 0
Resolução
x2(x + 1) – 3(x + 1) = 0
(x + 1)(x2 – 3) = 0
x + 1 = 0  x = –1
ou
x2 – 3 = 0  x2 = 3  x = 
Assim: S = {–1, , } (conjunto solução)
3o) Resolver a equação x3 +2x2 +2x = 0 em C.
Resolução
x3 + 2x2 + 2x = 0  x(x2 +2x + 2) = 0
x(x2 + 2x + 2) = 0 
 x = 0 ou x2 + 2x + 2 = 0
De x2 + 2x + 2 = 0, vem:
 = 4 – 8 = –4 = 4i2
  x = –1 + i ou x = –1 – i
Portanto:
x3 + 2x2 + 2x = 0  x = 0 ou x = –1 + i ou x = –1 – i
Ou seja, o conjunto solução da equação é
S = {0, –1 + i, – 1 – i}
Dizemos que duas equações são equivalentes em U quando os seus conjuntos soluções em U são iguais. |
Representação de um...
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