Trabalho de Integração Numérica

Integração Numérica

I - Introdução
Integrar uma função contínua em um intervalo significa encontrar a área limitada pelo gráfico de , pelo eixo-x e pelas retas .
Assim:
representa a “área sob o gráfico de limitada pelos pontos ”. A função é denominada primitiva de e .
Existem integrais cuja resolução através de métodos analíticos é por demasiado complexa (às vezes impossível) e ainda casos em que a função de integração é conhecida apenas na forma tabelar. Problemas desta natureza são resolvidos através de métodos de integração numérica.
A idéia básica para a integração numérica será substituir a função no intervalo por um polinômio que a aproxime, reduzindo o problema a uma simples integração polinomial.
A solução numérica de uma integral é comumente chamada de quadratura.

II - Fórmulas de Newton-Côtes
São fórmulas que empregam valores de onde os valores de são igualmente espaçados.

II.1- Regra dos Trapézios
Consiste em aproximar a função por um polinômio de grau 1. Desta forma, a integral da função no intervalo é aproximada pela área do trapézio de bases e e de altura igual ao tamanho do intervalo, ou seja, . Desta forma:

Intuitivamente percebemos que esta aproximação é um tanto grosseira. Entretanto, observamos que se o intervalo for dividido em subintervalos de mesmo tamanho: , , ... e aplicando a regra dos trapézios a cada subintervalo, obteremos uma melhor aproximação. Desta forma, temos que a integral da função no intervalo será a soma das áreas de cada intervalo. Assim:

Chamando de o tamanho de cada subintervalo e substituindo na expressão acima:

Manipulando algebricamente esta expressão, temos:

Esta fórmula é denominada regra dos trapézios repetida, e oferecerá maior precisão quanto maior for o número de subintervalos utilizados no cálculo.
O erro cometido ao calcularmos uma integral através