TRABALHO DE CORTES DE DEDEKIND

TRABALHO DE CORTES DE DEDEKIND

Analise para Matemática

Iremos mostrar e garantir a existência de um corpo ordenado (que será indicado por
) que contenha o conjunto dos racionais e que resolva o problema dos "buracos" encontrados no conjunto dos números racionais, isto é, em ℚ.

Os elementos de precisamente: serão certos subconjuntos de ℚ denominados por cortes, mais

Definição 3.5.1: Um par ordenado (A, B), de subconjuntos de números racionais, é um corte no conjunto dos números racionais se as seguintes condições são verificadas:

(1) A ≠ ∅ e B ≠ ∅;
(2) A ⋃ B = ℚ;

Também podemos dizer a definição da seguinte forma:
(I) α ≠ ∅ e α ≠ ℚ;

(3) a ∈ A e b ∈ B ⇒ a < b;

(II) Se a ∈ α e q ∈Q satisfaz

(4) A não tem elemento máximo.

q < a, então q ∈ α. ;
(III) Se a ∈ α então existe b ∈ α tal que a < b.

O conjunto A é o conjunto minorante e o conjunto B é o conjunto majorante do corte, respectivamente. Os elementos do conjunto minorante serão chamados de números minorantes e os elementos do conjunto majorante de números majorantes.

Definição 3.5.1.2: Sejam (A, B) e (C, D) cortes no conjunto dos números racionais.
Dizemos que (A, B) é igual (C, D) e escrevemos (A, B) = (C, D) se, e somente se, o conjunto minorante de (A, B) for igual ao conjunto minorante de (C, D). Mas precisamente,
(A, B) = (C, D) ⇔ A = C

Exemplo 3.5.1.3. Seja r um número racional e consideremos os conjuntos

Ar = {x ∈ ℚ | x < r} e Br = {x ∈ ℚ | x ≥ r}
Então, o par (Ar, Br) é um corte, que denotaremos por r*. De fato; tem-se:

Parte (1): A condição (3.5.1.(1)) é verificada pois é claro que Ar e Br são conjuntos não vazios.

Parte (2): Dado um número racional arbitrário x, pela lei da tricotomia, teríamos x ∈ Ar ou x ∈
Br logo Ar ∪ Br = Q e a condição (3.5.1.(2)) está satisfeita.

Parte (3): Seja a ∈ Ar e b ∈ Br, temos a < r e b ≥ r, portanto a < b.

Parte (4): O conjunto Ar não tem elemento máximo, pois se a ∈ Ar então a < r, e existe a1