Trabalho de calculo 2

Teorema : Seja f : A
R uma função de classe C^2 definida num
aberto A Ì R^ n : Suponha que P Î A , seja um ponto crítico de f: Sejaml1,l2,l3....ln os autovalores da matriz hessiana de f em P e H(P) o hessiano
de f em P: Temos
1. se ¸j > 0 para todo 1 · j · n então P é umponto de mínimo local de f;
2. se ¸j < 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de máximo local de f;
3. se existirem dois autovalores lie lj com sinais opostos então P é um ponto
de sela de f;
4. nos demais casos, isto é,
(a) lj ³ 0 ; para todo i £ j £ n e existe umautovalor¸ i = 0 ou
(b) lj £ 0 ; para todo i £ j £ n e existe um autovalor¸ i = 0 não podemos afirmar
nada sobre a natureza do ponto crítico P.Para comprovarmos que tal teorema é verdadeiro, compararemos os valores
obtidos através do teorema com o gráficos que serão plotadosno
Mathematica.

Letra A)

G(x,y) = Sin[x]*Cosh[y]

Gx = Cos[x]*Cosh[y]
Gy = Sin[x]*Sinh[y]

Nos pontos onde a primeiraderivada é zero temos um ponto de máximo,de
mínimo ou de sela, temos então que determinar tais pontos:
p/ x = p / 2 y = 0
p/ x = 3p / 2 y =0
Temos então dois pontos candidatos a mínimo da função:
A=(p / 2 , 0)
B=(3p / 2 , 0)
Encontrando as derivadas de segunda da funçãoG(x,y) podemos encontrar a
Hessiana desta.

Gxx = Sen(x)*Cosh(y) Gyx = Cos(x)*Senh(y)
Gxy = Cos(x)*Senh(y) Gyy = Cos(x)*Senh(y)