Trabalho de Cálculo I

Páginas: 6 (1292 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
CÁLCULO 1 – EXERCÍCIOS

1 – Esboce o gráfico de y = x – x2 sobre o intervalo –2 ≤ x ≤ 3.

a) Use o método dos incrementos para calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto genérico (x0, y0).

Solução:
Vamos considerar agora o problema de traçar a reta tangente num ponto genérico da curva, um ponto de abscissa x = x0, onde x0 é um número qualquer.

f(x0) = x0 –x02

E

f(x0 + Δx) = (x0 + Δx) – (x0 + Δx)2 → x0 + Δx - x02 - 2 x0 Δx - Δx2

Tem-se que:

(f (x0 + Δx) – f (x0))/ Δx = (- Δx2 + Δx - 2 x0 Δx ) / Δx = - 2 x0 - Δx + 1

O limite dessa expressão com Δx → 0 é -2x0 + 1. Portanto, a reta tangente no ponto P = (x0, x0 - x02) é dada por:

y – (x0 – x02) = (-2x0 + 1) (x – x0) → y = -2x0x + 2 x02 - x0 + x + x0 – x02 →
y = x02 -2x0x + x

b)Quais são os coeficientes angulares da reta tangente nos pontos (– 1, – 2); (0, 0); (1, 0) e (2, –2) sobre a curva?

Solução:
b.1) y = (-1)2 -2.(-1).x + x → y = 3x + 1

b.2) y = 02 – 2.0.x + x → y = x

b.3) y = 12 -2.1.x + x → y = -x + 1

b.4) y = 22 – 2.2.x + x → -3x + 4

c) Em que pontos sobre a curva a reta é horizontal?

f(x0) = x0 – x02

E

f(x0 + Δx) = (x0 + Δx) – (x0 +Δx)2 → x0 + Δx - x02 - 2 x0 Δx - Δx2

Tem-se que:

(f (x0 + Δx) – f (x0))/ Δx = (- Δx2 + Δx - 2 x0 Δx ) / Δx = - 2 x0 - Δx + 1

Admitindo que Δx tende a zero, tem-se: -2 x0 + 1 = mt

y – (x0 – x02) = (-2 x0 + 1) (x – x0) → y = – 2 x0x + 2x02 + x + – x0 + x0 – x02 →
y = x02 – 2 x0x + x

f’(0) = 0 → – 2 x0 + 1 = 0
2 x0 = 1→ x0 = ½

f’( ½ ) = (½ )2 – 2 . x/2 + x → f’( ½ ) = ¼No ponto em que x0 = ¼ a reta tangente à curva é horizontal.





d) Sobre o gráfico constituído, represente as retas tangentes determinadas nos itens (b) e (c).

Solução:



2 – Use a fórmula para calcular f’ (x0), se f’ (x) é igual a:

a) y = x2 – 4x – 5 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =((x0 + Δx)2 – 4(x0 + Δx) – 5) –x2 + 4x + 5)/ Δx → (Δx2 + 2x Δx – 4 Δx)/ Δx → Δx +2x - 4.

Aplicando o fato de Δx tender a zero, tem-se que f’ (x0) = 2x - 4.

b) y = x2 – 2x + 1 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =((x0 + Δx)2 – 2(x0 + Δx) + 1) –x2 + 2x – 1)/ Δx → (Δx2 + 2x Δx – 2 Δx)/ Δx → Δx + 2x - 2.

Aplicando o fato de Δx tender a zero, tem-se que f’ (x0) = 2x – 2.

c) y = 2x2 + 1 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =(2(x0 + Δx)2 + 1) –x2 – 1)/ Δx → (2Δx2 + 4xΔx)/ Δx → 2Δx + 4x

Aplicando o fato de Δx tender a zero, tem-se que f’ (x0) = 4x.

d) y = x2 – 4 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =((x0 + Δx)2 – 4) –x2 + 4)/ Δx → (Δx2 + 2x Δx)/ Δx → Δx + 2x

Aplicando o fato de Δx tender a zero, tem-se que f’ (x0) = 2x.

e) y = 4x3 – 2x + 1 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =(4(x0 + Δx)3 – 2(x0 + Δx) + 1) –4x3 + 2x – 1)/ Δx → (12x2Δx + 12x Δx2+ 4 Δx3 – 2 Δx)/ Δx → 12x2 + 12xΔx + 4 Δx2 – 2.

Aplicando o fato de Δx tender a zero, tem-se que f’ (x0) = 12x2 – 2.

3 – A curva representada por y = x4 + 2x + 2 possui alguma tangente horizontal? Se possuir, onde está (determinar coordenadas x e y do ponto)? Esboce o gráfico da função num intervalo que permita confirmar a resposta à questão anterior.


Solução:
f(x0) = x04 – 2x02+ 2E

f(x0 + Δx) = (x0 + Δx)4 – 2(x0 + Δx)2 + 2

Tem-se que:

(f (x0 + Δx) – f (x0))/ Δx = ((x0 + Δx)4 – 2(x0 + Δx)2 + 2 – (x04 – 2x02+ 2)) / Δx → ((x02+2x0 Δx + Δx2)2 – 2(x02+2x0 Δx + Δx2) +2) – x04 + 2x02 – 2 → (4x3 Δx + 4x Δx3 + 6x2 Δx2 + Δx4 – 4x Δx – 2 Δx2)/ Δx → 4x3 + 4x Δx2 + 6x2 Δx + Δx3 – 4x – 2 Δx

Admitindo que Δx tende a zero, tem-se: 4x3 – 4x = mt

y – (x04 – 2x02+ 2) = (4x3– 4x) (x – x0) → y = 4x0x3 – 4x04 – 4x0x + 4x02 + x04 – 2x02 + 2 → y = 4x0x3 – 3 x04 – 4x0x + 2x02 + x04 + 2

f’(0) = 0 → 4x03 – 4x0 = 0
4x03 = 4x0 → 4 = 4x02 → x02 = 1 → x0 = ± 1

f’(-1) = -4x -3 + 4x + 2 + 1 + 2 → f’(-1) = 2

f’(1) = 4x -3 - 4x + 2 + 1 + 2 → f’(1) = 2







4 – A normal à parábola y = x2 + 2x – 3 no ponto (1, 0) intercepta a curva em que ponto? Esboce o...
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