TRABALHO CVGA

Páginas: 15 (3700 palavras) Publicado: 12 de setembro de 2015
Introdução

As curvas planas conhecidas como Cônicas são três curvas obtidas à partir de intersecções de um plano com um cone reto. Uma das origens do estudo de cônicas está no livro de Apolônio de Perga (261a.C.), intitulado Cônicas, no qual se estudam as figuras que podem ser obtidas ao se cortar um cone com ângulo do vértice reto por diversos planos.
Anteriormente a este trabalho existiamestudos elementares sobre determinadas interseções de planos perpendiculares às geratrizes de um cone, obtendo-se elipses, parábolas e hipérboles, conforme o ângulo do corte fosse agudo, reto ou obtuso, respectivamente.
A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder ser obtida também por uma seção de um cone, a sua importância é inquestionável na matemática, em particular nageometria, e em outras ciências.
Desde o tempo de Apolônio que as seções cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático) descobriu por volta de 1610 que osplanetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de 1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação e das leis da Mecânica.












Circunferência Elipse











Parábola Hipérbole

Expressão geral de uma cônica


As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações serão realizadas no planocartesiano (ℜ2).
A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação do 2º grau da forma: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
O termo "x y" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo". Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é "degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo, simplesmente chamares de equação geral.Geometricamente, a diferença entre a equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.

Eixo de simetriaEixo de simetria

y y







x


Elipse de equação geral


Elipse de equação geral
degenerada

não degenerada


Neste capítulo estaremos estudandosomente as cônicas com equação geral não degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação de eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.

Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para todas, ou seja, Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:
Se B2− 4AC < 0, é a equação de uma elipse.
Se B2 − 4AC = 0, é a equação de uma parábola.
Se B2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.
Por exemplo:

a) Se 5x2  6xy  5y2 − 4x  4y − 4  0 ⇒ B2 − 4AC  −64  0 ⇒ elipse.

b) Se x2 − 2xy  y2  2x − 4y  3  0 ⇒ B2 − 4AC  0 ⇒ parábola.

c) Se 3x2  18xy  3y2  242x − 24  0 ⇒ B2 − 4AC  288  0 ⇒ hipérbole.
Parábola
As parábolas são curvas queaparecem em diversas situações, tais como a trajetória de uma pedra lançada obliquamente, no formato de um farol de automóvel e de um forno solar e também em uma ponte pênsil. O grego Apolônio descobriu que a parábola é um caso especial de curvas obtidas seccionando um cone por um plano, sendo por isso, chamadas de seções cônicas, os quais incluem as hipérboles e as elipses. Uma parábola é um...
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