trabalho 1 CN

1. HISTÓRICO
Uma versão preliminar da decomposição LU apareceu pela primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”, em torno de 200 a.C. No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do asteroide Ceres com pouquíssimas informações. Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan (engenheiro alemão) em 1888 publicou-o no seu livro de geodésica.
Embora as ideias tenham sido conhecidas antes, muitas vezes, o credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto.
Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações lineares. A pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC, que são uma referencia para muitos algoritmos computacionais de hoje como, por exemplo, o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposição LU.

2. DEFINIÇÃO

a. Em álgebra linear, a decomposição LU é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper).

b. Sendo A uma matriz não singular

onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para matrizes , isto é:

A decomposição PLU tem esta forma: ou também:
Onde L e U são, de novo, duas matrizes triangulares inferior e superior respectivamente e P é uma matriz de permutação.

3. OBJETIVO

Resolver um Sistema de equações lineares do tipo:

Onde: aij ,i = 1,2,...,m e j=1,2,...,n coeficientes, bi, i = 1,2,...,m constantes, xj, j=1,2,...,n incógnitas.

O sistema (1.1) pode ter:
Mais equações do que incógnitas (m > n);
Mais incógnitas do que equações (m < n);
O mesmo