titulo

Determine, caso existam, os limites das sucessões cujos termos gerais são:
(a) un =

n3 + 2n2 + 3
;
1 − 2n3

(b) un =

2n + 3
;
1 − n3

(c) un =

1 − n4
;
n2 + 2

(d) un =

2 + (−4)n
;
2n − 3n

(e) un =

2n+1
;
1 − 2n

(f) un =

(−1)n n3 + 1
;
n4 + 2

(g) un =

(j) un =

n+

√

n−

√

2

n2
2

1 sen ; n 1
(q) un = 2 n √
5n+1 + 2n cos n + 1; n 1 + (−7)

1 n3 (i) un =

n

(l) un = 1 +

;

1
1
1
+
+ · · · + n+1 ;
2 22
2

n

2k

(o) un = k=0 n

33+2k

3n

(k + 2);

(r) un =

k=1

k=1
1

(t) un = (n + 1) ln n ;

(u) un =

1
;
n

1+

n2

(n + 2)! − n!
;
n!(5n2 + 1)

(n) un =

;

ln(n + 1);

1−

(k) un =

2

3
(p) un = n ln 1 + n 2

n

(h) un =

n2 + n − 1
;
n+3

n

(m) un = nn (1 + n2 )−

(s) fn =

n;

1 n ;
5n
2

1
2+k
k

;

n

[cos((k + 1)π) − cos(kπ)]. k=1 2. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas, estude a natureza das seguintes sucessões:

(a) un =

3n
1 + 4n n (d) un = k=1 n

;

n
;
2+k n n
1 − 2n

(b) un =
(e) un =

2n

√ k=0 3. Considere as sucessões de termos gerais un =

√ n n

(c) un =

;

n

8n
;
4 + 2k n ln n e vn =

√ n 2 + cos2 n
;
3n
√

(f) un = k=1 1 n2 +k

.

n ln n.

(a) Calcule lim un e lim vn . n n

(b) Usando a alínea anterior deduza o valor do limite da sucessão de termo geral wn = n Sugestão: Note que n ≤ n! ≤ n , ∀n ∈ N.

4.((teste 29/05/12) Considere as sucessões de termos gerais: un =

nn−2
(n2 + 1)
(n + π)n

e

vn =

√ n! + n
.
(n + 1)!

(a) Calcule lim un . n (b) Utilize o teorema das sucessões enquadradas para mostrar que lim vn = 0.
Sugestão: Note que n! ≥

√

n

n, ∀n ∈ N.

5. Seja (un )n∈N a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: u1 = 3 u =

3(1+un )

.

n

ln(n!).

(a) Verifique que un+1 −

√

3=

√