Tetraedro

1. Determine a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 2m.
Solução. O tetraedro regular é uma pirâmide cujas faces são todos triângulos eqüiláteros. A altura será calculada pela relação g 2 = h2 + m2, onde “g” é o apótema da pirâmide (no caso altura no triângulo equilátero da face), “m” é o apótema da base (também triângulo equilátero).
l 2 3
A Total = 4
 4


i)

g=

ii)

h=


 =l2



3 = ( 2) 2

3 = 4 3 m2

.

( 3) =

l 3
2 3
1 l 3 
 = 1.
=
= 3 ; m = .
 3
2
2
3 
2


g 2 −m 2 =

( 3)

2

2

 3

−
 3 



2
l

3

.h  ( 2)
 A base .h   4

V =
=
=

3
3

 




2

= 3−

3
=
9

2 6
3 .
 3

12






=

3
3

24
2 6
=
9
3

.

8 18
8. 3 2
2 2
=
= m3 36
36
3

2. Uma pirâmide regular triangular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da pirâmide. Solução. A pirâmide triangular regular possui como base um triângulo equilátero.


1  l 3 l 3
 Apótema da base (m) = .  = l 3
24 24 3
3  2  6 ⇒ = 4 ⇒ l = = . = 8 3 cm

6
3 3 3

Apót e ma da base
(
m
)
=
4


.
 l2 3 
 .h  2
 A .h 
8 3 3.( 5) (64)(3)(5) 3 (64)(5) 3
V =  base  =  4  =
=
=
= (16)(5) 3 = 80 3 m3
12
4
 3   3  12
 
 

()

3. Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base, a área lateral e o volume da pirâmide.
Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é formado por seis triângulos eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado do hexágono. O apótema da base (m) é a altura de um dos triângulos eqüiláteros de lado 3m.
l2 3
A base = 6
 4


i)

g=

ii)

2



 = 3 (3) 3  = 27 3 m 2



2
2




3 3 

4 +
 2 


2

2

= 16 +

27
=
4

.

91
=
4

91
2


 91  9 91 2
