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CAPÍTULO 1NOÇÕES MATEMÁTICAS
PRELIMINARES
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1.1 INTRODUÇÃO
• serão vistos aqui noções de cálculo que serão amplamente utilizadas neste nos capítulos vindouros: –
–
–
–
gradiente, divergente, rotacional; circulação; Teorema da divergência;
Teorema de Stokes.
• conceitos tidos como conhecidos:
– derivação, integração, diferenciação;
– noções elementares de cálculo vetorial.
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1.2 CARÁTER VETORIAL **
Muitas grandezas físicas possuem um caráter vetorial, como por ex:
» velocidade;
» deslocamento;
» força;
» aceleração;
» campo elétrico, magnético;
» etc.
junto às quais estão associadas as noções de direção e sentido.
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já outras grandezas dissociadas destas noções são tidas como escalares:
•
•
•
•
•
massa; distância; temperatura; entropia; potencial elétrico, etc.
Campo é uma função que especifica uma grandeza particular, escalar ou vetorial, em algum lugar do espaço. Campo vetorial:
• velocidade de um gás num tubo;
• força gravitacional de um corpo no espaço;
• velocidade do pingos da chuva;
• campos elétricos e magnéticos em uma dada região, etc.
Campo escalar:
• distribuição de temperatura em uma sala; • intensidade de som em um teatro;
• potencial elétrico em uma região, etc.
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Exercício: desenhar os campos de vetores:
a) F = x ax + y a y
b) G = (-y ax + x a y) / (x2 + y2)1/2
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1.3 DERIVAÇÃO VETORIAL
1.3.1 Notações Básicas
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1.3.1 O operador nabla
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1.3.2 Gradiente, Divergente e Rotacional através de
= Laplaciano do escalar U
Atividade: vamos calcular estas 3 expressões, que são as definições
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algébricas de divergente, rotacional e gradiente.
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Ilustração de Divergente e Rotacional de um campo de vetores em um ponto P:
P
P
P
div > 0
div = 0
div < 0
P
rot = 0
rot = 0
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1.4 O Gradiente
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(1.5)
Pela noção de produto escalar, nota-se que os vetores gradU e dM são
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ortogonais, mas