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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS
Transformações Lineares
Estamos familiarizados com funções ordinárias, tais como a função f definida pela equação f(x) = x2. Essa equação transforma um número real em outro número real, no caso, seu quadrado.
Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores.
Em geral, se V e W são EV, uma função ou transformação T de V para W, é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor y em W que é denotado por
T(x).
Se x é um vetor em V, então T(x) é chamado “imagem de x” sobre a transformação T.
Ex.: 1. Se T é uma transformação do R3 para R2 definida pela equação:
T(x1, x2, x3) = ( x1+x2, x2+x3)
T: R3  R2
Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor (2,2)
Ou seja, T(1,1,1) = (2,2)
O vetor (3,2,0) no vetor
T(3,2,0) = (5,2)
2. Uma transformação T: R2  R3 associa vetores v = (x,y) R2 com vetores
W = (x,y,z) R3. Se a lei que define a transformação T for: T(x,y) = (3x, -2y, x-y)
T(2,1) = (3.2, -2.1, 2-1)
T(2,1) = (6, -2,1)

(2,1)
(-1,3)
(0,0)

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

T
(6,-2,1)
(-3,-6,-4)
(0,0,0)

PROF.ª ADRIANA BISCARO

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Definição: Uma transformação linear é uma aplicação que leva vetores de um EV em outro EV.
T: V W, onde T é a transformação linear (uma aplicação) de V em W, onde V
(um EV) é o domínio e W (um EV) é a imagem.
Sejam V e W dois EV, uma transformação T:V W é chamada de LINEAR de V em
W se:
I)
II)

T(v + w) = T(v) + T(w)
T(
= T(v) para v

e

R.

Uma transformação linear T:VW preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores.
Obs.: Uma transformação linear de V em V (é ocaso de V = W) é chamada de
Operador Linear sobre V.
Exemplos:
1) T:R2  R3; T(x,y) = (3x, -2y, x – y) é linear.
Demonstração:
I)
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores genéricos de R2.
T(u+v) = T(u) + T(v)
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)
T(u + v) = (3.( x1 + x2), -2.( y1 + y2), (x1 +