Teoria dos números

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INTRODUCAO A
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TEORIA DOS NUMEROS

V´ ıtor Neves

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Departamento de Matem´tica a Universidade de Aveiro
2001

Introdu¸˜o ca O presente texto resulta da evolu¸˜o de um conjunto de notas de apoio ` discica a plina Introdu¸˜o ` Teoria dos N´ meros do segundo semestre do terceiro ano da ca a u licenciatura em Ensino de Matem´ticada Universidade de Aveiro. a Parafraseando um mestre, n˜o pretendemos ”escrever para autodidatas, mas sim a para alunos com professor”, pelo que deix´mos para o leitor demonstrar – por vezes a explicitamente como exerc´ – o que ´ manifestamente rotineiro (n˜o necessariamente ıcio e a trivial...) ou nos parece estar fora do ˆmbito de um primeiro curso sobre Teoria dos a N´meros. u N˜o sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos cl´ssicos e elementares da Teoria, a a de car´cter mais formativo e menos t´cnico: a orienta¸˜o foi de facto muito forte no a e ca sentido de preparar docentes para o ensino secund´rio. a O cap´ ıtulo sobre extens˜es do corpo dos n´meros reais (Cap. 8) pretende recuperar o o u estudo das constru¸˜es do corpo real e suas extens˜es mais importantes, que deixou de se co o fazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretende aprofundar o conceito de N´mero. As extens˜es n˜o arquimedianas s˜o afloradas de u o a a modo a alertar para a sua existˆncia e onde podem ser estudadas. e A finalidade principal do texto – apoiar uma disciplina semestral – obrigou a escolhas n˜o muito agrad´veis: por quest˜es de tempo n˜o se tem mostrado razo´vel a a o a a tratar cuidadosamente a equa¸˜o de Pell, aspectos de Teoria Anal´ ca ıtica, aproxima¸˜o ca por frac¸˜es cont´ co ınuas, ra´ ızes primitivas, crit´rios de primalidade ou Teoria Combie nat´ria. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este texto o se modificasse; mesmo assim, nem toda a mat´ria aqui descrita tem sido