Teoria da não completude

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE INFORMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM COMPUTAÇÃO
Eduardo Pereira MARCELO CARDOSO FEITEIRO DANIEL SOUZA TEOREMA DA INCOMPLETUDE
Gõdel, Hilbert e a origem do teorema
Durante o inicio do seculo vinte, varias escolas de matemática começaram a questionar a validade logica dos fundamentos da matemática após a descoberta de vários paradoxos como o paradoxo de Russel, houve um período de deliberação onde aconteceu uma partição entre as escolas em dois principais campos de pensamento, o intuitivalista e o formalista, as ideias do campo formalista culminarão no programa de Hilbert. Hilbert, um matemático alemão, propôs em um programa que leva seu nome que a matemática podia ser fundada em um conjunto finito de axiomas verdadeiros e consistentes entre si, Gõdel em 1931, escreveu uma tese chamada Sobre propostas formalmente indecididas do Principia Mathematica e sistemas relacionados, Principia Mathematica, um livro escrito por Alfred North Whitehead e Bertrand Russel, embora tenha sido publicado anteriormente ao programa de Hilbert tratava do mesmo assunto: descrever um conjunto de axiomas e regras na qual todas as verdades matemáticas poderiam ser provadas.
O trabalho the Gõdel no entanto provava o contrario, seu primeiro teorema demostrando um contra-exemplo para a completude, ele demostra que é possível criar uma informação matematica que é nem provável e nem refutável na aritmética de Peano porém verdadeira no modelo comum, seu segundo teorema prova que a consistência da aritmética não pode ser provada usando a aritmetica em si.
Após isso, o trabalho de Gõdel foi completado e generalizado pelo trabalho de Turing, com o própio Gõdel afirmando que somente após o aprimoramento feitos por Turing em seu trabalho que ele mesmo chegou a completa confiança que sua ideias refutam o programa de Hilbert.
A importância do teorema para as ciências
Para corretamente entender a importância do teorema