Teoria Cinetica Dos Gases Distribuicao De Maxwell

Páginas: 9 (2039 palavras) Publicado: 3 de setembro de 2015
Teoria Cinética dos Gases

Distribuição de velocidades de Maxwell:
Como vimos a função densidade de probabilidade das velocidades na ausência de campos externos é dada por:

Chamando reescrevemos essa função na forma:

Daqui podemos encontrar a função densidade de probabilidade para o módulo da velocidade dada por:
[Eq1]
Mudando para a variável adimensional essa distribuição é dada por:

Aqual possui as propriedades necessárias para uma função densidade de probabilidade, ou seja:
e [Demo1].
Notamos que a função cresce com para e cai com para . Ela tem apenas um ponto de máximo, por isso é chamada de uma distribuição unimodal. O gráfico da figura Figura xxx mostra a curva dessa distribuição, juntos com os pontos marcando a moda, a velocidade média e a velocidade quadrática média.Figura xxx: gráfico da função densidade de probabilidade de Maxwell

MODA: O ponto de máximo de uma distribuição unimodal é chamado de MODA, a qual, no nosso caso, ocorre em ou [Demo2]. Nesse ponto a função vale: .

Distribuição Gama generalizada: a distribuição de Maxwell é um caso partícula da distribuição gama generalizada definida por:

A qual possui as propriedades exigidas para umadistribuição de probabilidade, ou seja, e . [Demo1a]. Note que os parâmetros ; nos remetem de volta à distribuição gamma: . Usando os parâmetros ; e e sabendo que temos . Assim a distribuição de Maxwell pode ser classificada como uma distribuição Gamma Generalizada.

Momentos da distribuição Gama Generalizada. Os momentos da distribuição Gama generalizada são dados por: [Demo1b]

Para o caso dadistribuição de Maxwell, ; e , teremos [Demo1c]

Notamos que se for ímpar, aparece um fatorial de um número inteiro e o permanecerá no denominador, enquanto se for par, o fatorial de um número semi-inteiro conterá um que cancela o do denominador. Os momentos ímpares são dados imediatamente por:

Os 3 primeiros momentos ímpares valem: ;;
Já para os momentos pares devemos usar o fato deque para obter:
[Demo3].
Os 4 primeiros momentos pares são dados por: ;; e . Juntando esses resultados temos:
Velocidade média: A esperança de é dada por , logo a velocidade média é dada por:

Note que e que o médio está acima do de pico, que é uma consequência da assimetria da distribuição com skewness positivo, assimétrica à direita.

Velocidade RMS [Root Mean Square]: A esperança doquadrado da velocidade pode ser extraída ou diretamente do teorema da equipartição da energia pois , logo ou através do momento de ordem 2, dado por , o qual, consistentemente, fornece os mesmos resultados. A velocidade quadrática média é definida por , logo e, portanto, .
Variância: A variância de é dada por e vale . Nesse caso o desvio padrão vale ou seja . Em termos da velocidade então:
eo desvio padrão será .
O gráfico da figura xxx mostra a distribuição de Maxwell junto com a velocidade média e o intervalo de um desvio padrão para cima e para baixo do valor médio.

Figura xxx. Distribuição de velocidades de Maxwell com esperança e o intervalo de um desvio padrão para cima e para baixo

Mediana e quartis. Distribuição de probabilidade acumulada:
Podemos mostrar que distribuiçãocumulativa de probabilidade da distribuição de Maxwell é dada por: [Demo4]

Onde é a distribuição cumulativa da distribuição normal padrão, ou seja:

Mediana: A mediana é obtida quando , ou seja, na solução da equação transcendental:

Colocando no Excel e usando o SOLVER temos que: . Assim a velocidade mediana é dada por

Primeiro e terceiro quartis: O primeiro quartil é dado pela solução dee o terceiro pela solução de . Usando o solver encontramos: .
Figura xxx mostra a distribuição de probabilidade de Maxwell cumulativa marcando a mediana, o primeiro e o terceiro quartis.

Figura xxx: Distribuição de Maxwell cumulativa. A curva vermelha foi obtida integrando numericamente a função densidade de probabilidade e a curva preta superposta através da expressão xxx obtida acima....
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