Teoria Cinetica Dos Gases Distribuicao De Maxwell

Teoria Cinética dos Gases

Distribuição de velocidades de Maxwell:
Como vimos a função densidade de probabilidade das velocidades na ausência de campos externos é dada por:

Chamando reescrevemos essa função na forma:

Daqui podemos encontrar a função densidade de probabilidade para o módulo da velocidade dada por: [Eq1]
Mudando para a variável adimensional essa distribuição é dada por:

A qual possui as propriedades necessárias para uma função densidade de probabilidade, ou seja: e [Demo1].
Notamos que a função cresce com para e cai com para . Ela tem apenas um ponto de máximo, por isso é chamada de uma distribuição unimodal. O gráfico da figura Figura xxx mostra a curva dessa distribuição, juntos com os pontos marcando a moda, a velocidade média e a velocidade quadrática média.

Figura xxx: gráfico da função densidade de probabilidade de Maxwell

MODA: O ponto de máximo de uma distribuição unimodal é chamado de MODA, a qual, no nosso caso, ocorre em ou [Demo2]. Nesse ponto a função vale: .

Distribuição Gama generalizada: a distribuição de Maxwell é um caso partícula da distribuição gama generalizada definida por:

A qual possui as propriedades exigidas para uma distribuição de probabilidade, ou seja, e . [Demo1a]. Note que os parâmetros ; nos remetem de volta à distribuição gamma: . Usando os parâmetros ; e e sabendo que temos . Assim a distribuição de Maxwell pode ser classificada como uma distribuição Gamma Generalizada.

Momentos da distribuição Gama Generalizada. Os momentos da distribuição Gama generalizada são dados por: [Demo1b]

Para o caso da distribuição de Maxwell, ; e , teremos [Demo1c]

Notamos que se for ímpar, aparece um fatorial de um número inteiro e o permanecerá no denominador, enquanto se for par, o fatorial de um número semi-inteiro conterá um que cancela o do denominador. Os momentos ímpares são dados imediatamente por:

Os 3 primeiros momentos ímpares valem: ;;
Já para os momentos pares devemos usar o fato de