Teorema de green

C´lculo III a Departamento de Matem´tica - ICEx - UFMG a Marcelo Terra Cunha

Teorema de Green
Agora chegamos a mais um teorema da fam´ do Teorema Fundamental ılia do C´lculo, mas dessa vez envolvendo integral de linha de campo vetorial a e integral dupla de uma certa quantidade que j´ apareceu em nosso estudo a sobre campos conservativos. O Teorema de Green tem uma id´ia essencial e e alguns detalhes t´cnicos. Vamos tentar trat´-los, mas enfatizando o essencial. e a

10.1

Curvas Simples Fechadas e Integral de
Circula¸˜o
ca

Uma curva γ : [a, b] → Rn ´ dita fechada se γ (a) = γ (b); ´ dita simples se, e e para todo t1 , t2 ∈ (a, b), γ (t1 ) = γ (t2 ), ou seja, com a poss´ exce¸˜o das ıvel ca extremidades, uma curva simples n˜o tem auto-intersec¸˜o. a ca
´
E um resultado intuitivo (mas n˜o ´bvio) que toda curva simples fechada a o no plano ´ a fronteira de uma regi˜o. Algumas vezes essa regi˜o ´ chamada e a a e
“o interior da curva γ,” mas uma nomenclatura mais precisa ´ “a regi˜o e a limitada por γ.” Fa¸a alguns desenhos para se convencer. c Por conven¸˜o, uma curva simples fechada ser´ dita positivamente orienca a tada se for percorrida no sentido anti-hor´rio. Tal conven¸˜o ´ muito simples a ca e de adotar para exemplos simples, como uma circunferˆncia, mas uma curva e simples fechada pode n˜o ser t˜o simples assim. Mas sempre ´ poss´ a a e ıvel parametriz´-la de modo que “a volta” que ´ feita em torno de cada ponto do a e interior de γ ´ percorrida no sentido anti-hor´rio. e a
Como nossa preocupa¸˜o ´ calcular integrais ao longo destas curvas, preca e cisaremos de curvas diferenci´veis (para podermos calcular seu vetor vea locidade). Mas permitimos que em alguns pontos este vetor esteja duplamente definido (pois estes exemplos aparecem comumente, como ´ o caso dos e n pol´ ıgonos). Uma curva γ (a, b) → R ´ diferenci´vel por peda¸os, ou ainda e a c seccionalmente diferenci´vel se o