Teorema de Euler

Teorema de euler
A fórmula de Euler é dada pela expressão V + F -A = 2, onde V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro. Euler descobriu-a em 1750 e fez extensas verificações da sua conjectura, para diversos tipos de sólidos, mas não apresentou nenhuma demonstração, dizendo o seguinte:
"Devo admitir em primeiro lugar que ainda não consegui uma demonstração rigorosa deste teorema... Como, em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, não pode haver dúvidas que é verdadeiro para qualquer sólido. Portanto a proposição parece satisfatoriamente demonstrada".
Mais tarde, Euler acabou por apresentar uma demonstração. Para Euler, o teorema aplicar-se-ía a todos os poliedros. No entanto, vários matemáticos atacaram essa tese, contestando o facto de não ser dada uma definição inequívoda de poliedro. Este facto originou uma grande controvérsia à volta deste teorema, levando a sucessivas demonstrações e refutações da sua validade. Algumas refutações baseavam-se na descoberta de poliedros que não verificavam a teoria. Alguns destes poliedros não-eulerianos, também designados por "monstros", apresentam-se na figura seguinte.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fm_euler.htm
Ao estudar o problema de Königsberg, Euler apresentou resultados gerais que são aplicáveis a todos os casos. Euler apresentou e demonstrou vários resultados, a saber: (2) 1. Numa rede (grafo sem pontos isolados), o número de vértices de valência (ou grau) ímpar é par.
2. Uma figura que não tenha vértices ímpares pode ser descrita de uma só vez, por um ponto móvel deslocando-se num caminho que começa e acaba num mesmo vértice.
3. Uma figura que tenha dois e só dois nós ímpares pode ser descrita de uma só vez por um ponto móvel partindo de um ponto e acabando noutro.
4. Uma figura que tenha mais do que dois nós ímpares não pode ser descrita de uma só vez. (pode ajudar, pensar em "descrita de uma só vez" como "percorrida sem