Teorema de Ceva

Páginas: 12 (2941 palavras) Publicado: 8 de agosto de 2013

TEOREMAS DE MENELAU E CEVA

O objetivo desse artigo é apresentar dois teoremas básicos para a geometria euclidiana - a saber, os teoremas de Menelau e Ceva, atualmente ``esquecidos" em nossos cursos de geometria elementar. Menelau de Alexandria foi um astrônomo que viveu no fim do primeiro século D.C.. Através de comentários de historiadores gregos e árabes sabemos que ele escreveuuma coleção de seis livros sobre “Cordas no Círculo”, um livro de “Elementos da Geometria” e uma série de trabalhos em geometria e astronomia, todos perdidos. O único livro de Menelau que sobreviveu aos tempos foi o “Sphaerica”, um tratado em três volumes sobre geometria e trigonometria esférica, do qual chegou até o nosso tempo uma tradução árabe. No volume III ele menciona o teorema que(abaixo) leva seu nome, como sendo bem conhecido e a seguir o generaliza para a geometria esférica. Mais tarde, em 1806, Carnot baseou toda sua “teoria de transversais” neste teorema de Menelau.

Teorema de Menelau

Sua versão simples é:

Teorema de Menelau (Forma Simples): Qualquer transversal  ao triângulo ABC corta as retas que contém os lados, em pontos
DÎ(B, C), EÎ(A, C)e FÎ(A, B)
tais que
/ . / . / = 1

Demonstração: De fato, baixemos pelos vértices A,B e C perpendiculares a  e sejam P, Q e R, respectivamente, os pontos de interseção dessas perpendiculares com . Sejam =r, =p e =q.
Da semelhança dos triângulos CDR e BDQ tiramos
/ = / =q/r.
Analogamente, das semelhanças de CRE com APE e de APF com BFQ, tiramos
/ =/ =r/p e / = / = p/q
Ou seja
c.q.d.

A recíproca desse teorema, que é válida, não pode ser demonstrada nessa formulação, pois dado um número k positivo existem dois pontos D e D', na reta (B,C) um interno e outro externo ao segmento BC, tais que / = BD' / D'C= k. Este fato será verificado no parágrafo que se segue.

Razão
Afim de estabelecer umacorrespondência biunívoca entre os números reais r e a razão que um ponto divide um segmento fez-se necessária a introdução da noção de segmento orientado , que mais tarde deu origem aos vetores. Apesar de Descartes já ter usado segmentos negativos, a idéia e uso dos segmentos orientados só foi sistematicamente explorada com L. Carnot (1803) e A. Moebius (1827). Em muitas situações este conceitounifica vários teoremas os quais pareciam isolados. Na Introdução assumimos que a reta pode ser coordenada, o que nela induz uma orientação e daí podemos definir segmento orientados. Vamos agora trabalhar com estes segmentos orientados. Dado CÎ(A,B), C¹B, definimos a razão orientada r= r(C;AB) que C divide o segmento AB por =r(C;AB)., e daí |r|=/ . Quando não houver perigo de confusão vamosescrever r(C) em vez de r(C;AB). Observe-se que r(A) = 0, porém r(B) não existe ; vamos convencionar que r(B) = ¥.


Propriedades da razão orientada
1. Se CÎAB então r(c) > 0. De fato neste caso e tem a mesma orientação.
2. Se CÏAB então r(c) < 0. De fato aqui e tem orientação oposta.
3. Existe uma correspondência biunívoca sobre entre os pontos de (A,B), distintos de B, e osnúmeros reais diferentes de -1.
De fato de + = tiramos para C¹B.
(1 + r).= ,=(1 + r)-1. , = (r/(1 + r))..
Necessariamente r ¹ -1, caso contrário = 0, implica que A=B, o que contradiz o fato A¹ B. Passemos ás coordenadas: seja A:(a), B:(b) e C:(c). Então a última expressão se escreve
c-a=(r/(1+r)).(b-a) ,ou c=a+(r/(1+r)).(b-a).
Esta última expressão determina c a partir de rÎÂdesde que r¹-1, i.e. , dado rÎÂ, r¹-1 existe um ponto C tal que r(C) = r, i.e. , nossa correspondência é sobre. Finalmente mostremos que ela é biunívoca. Seja C¹C' . Se r(C)=r(C') então = ’ , ou C = C' o que é uma contradição. Logo r(C)¹r(C'). c.q.d.

Observemos que se r(C) = r então o ponto D tal que r(D) = - r satisfaz a igualdade / = / = r. A questão do valor r = -1 é...
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