teorema da divergencia

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3.8

CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES

O Teorema da divergência ou Teorema de Gauss

O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície com uma de linha ao longo do bordo da superfície. O Teorema de Gauss exprime uma relação entre uma integral de superfície e uma integral de volume sobre a região limitada pela superfície.
Teorema 3.64 Teorema da divergência ou Teorema de Gauss: Seja V um sólido no R3 limitado por uma superfície S regular, ou regular por partes, fechada, orientada pela normal unitária exterior n. Seja D um aberto contendo V e F : D → R3 um campo vetorial de classe C 1 em D. Temos
ZZ
ZZZ div F (x, y, z) dxdydz =
F.n dS.
(3.7)
V

S=∂V

Prova. Seja
F (x, y, z) = (P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) .
Expressando n em termos do seus cossenos diretores, n = (cos αx , cos αy , cos αz ) , provar a igualdade em (3.7) é equivalente a provar que
ZZZ

Z Z VZ

Z Z VZ
V

∂P
(x, y, z) dxdydz =
∂x
∂Q
(x, y, z) dxdydz =
∂y
∂R
(x, y, z) dxdydz =
∂z

ZZ

S
ZZ

Z ZS
S

P cos αx dS =
Q cos αy dS =
R cos αz dS =

ZZ

S
ZZ

Z ZS

P dy ∧ dz,
Qdz ∧ dx,
Rdx ∧ dy.

S

A idéia da prova é a mesma para todas: transformar a integral tripla numa dupla e esta numa integral de superfície. Para a terceira igualdade vamos supor que V é projetável no plano xOy, isto é
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ K, f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)} , onde K ⊂ R2 é fechado e limitado com fronteira ∂K = γ regular, ou regular por partes, fechada, simples e as funções f1 , f2 : K → R são de classe C 1 em K. Nestas condições temos S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , onde
S1 = {(x, y, z) : (x, y) ∈ K, z = f1 (x, y)} ,
S2 = {(x, y, z) : (x, y) ∈ K, z = f2 (x, y)} ,
S3 = {(x, y, z) : (x, y) ∈ ∂K, f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)} .

3.8. O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA OU TEOREMA DE GAUSS
Logo

ZZ

R cos αz dS =

S

3 ZZ
X
i=1

R cos αz dS.

Si

1. Em S3 vemos que n é paralelo ao plano xOy, assim
ZZ
R cos αz dS = 0.
S3

2. S2