tecnico

Álvaro Fernandes23
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seudomínio.Seja
( ) x f y
=
uma curva definida no intervalo
( ) b ,a
. Considere
( ) oo y , x P
, sendo
( ) oo x f y
=
, um ponto fixo e ( ) y , xQ um ponto móvel , ambos sobre o gráfico de f
.Seja
s a reta que passa pelos pontos P e Q
.Seja
t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P
.Considerando o triângulo retângulo PTQ
, obtemos o coeficiente angular da reta s como ( ) oo x x y y x ytg
−−=∆∆=β
.Suponha que o ponto
Q
mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P
. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t . O ângulo β se aproximará do ângulo α , e então, a
( ) β tg se aproximará da
( ) α tg
. Usando a notação de limites, é fácil perceber que
( ) ( ) α=β → tg tg lim P Q .Mas quando P Q
→
temos que o x x
→
. Desta forma, o limite acima fica
( ) ( )( ) ( )( ) α=−−=−−⇔α=β →→→ tg x x x f x f lim x x y ylimtg tg lim oo x xoo x x P Q oo .Assim
( ) ( )( ) α=−− → tg x x x f x f lim oo x x o . oo x x x y y y
−=∆−=∆

Álvaro Fernandes24
Definição:
Seja
( ) x f y
=
uma curva e
( ) oo y , x P um ponto sobre o seu gráfico. O coeficienteangular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite
( ) ( ) oo x x x x x f x f limm o −−=
→

, quando este existir.
Equação da reta tangente
Podemos agora determinar a equação da reta tangente t , pois já conhecemos o seu coeficienteangular e um ponto do seu gráfico
( ) oo y , x P
.A equação da reta tangente t é:a)
( ) ( ) oo x xm y y
−=−
, se o limite que determina m existir; b) A reta vertical o x x
=
se
( ) ( ) oo x x x x x f x f lim o −−
→

for infinito.
Exemplo 19.
Determine a equação tangente a parábola
( )
2
x x f
=
no ponto de abscissa
1 x o =
.Solução: Temos