Taxas relacionadas

Páginas: 11 (2513 palavras) Publicado: 17 de setembro de 2014
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

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Taxas Relacionadas
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema
de taxas relacionadas.
Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas
envolvendo taxas relacionadas.
1 – Faça uma figura, se isso for possível;
2 – Defina as variáveis. Em geral definaprimeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem
de t.
3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t.
4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t.
5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4.
6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva emtermos da
quantidade desejada.
Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real.
Exemplos:
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da
escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por
segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades decomprimento da parede?
Resolução:
- Definição das variáveis:
t → tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos.
y → distância do chão ao topo da escada.
x → distância do pé da escada ate a parede.
- Figura (desenho esquemático)

5
25

y

x

- Fatos numéricos conhecidos:
dx
=3
dt
dy
=?
dt

quando x = 15

- Equação envolvendo as variáveis quedependem de t:
Pelo teorema de Pitágoras temos:
y 2 + x 2 = 25 2
y 2 = 625 − x 2

26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

2

- Derivando em relação a t:
y 2 = 625 − x 2
dy
dx
= 0 − 2x
dt
dt
dy
2 x dx
=−
dt
2 y dt

2y

dy
x dx
=−
dt
y dt

- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação:y 2 = 625 − x 2
y 2 = 625 − 15 2 = 625 − 225 = 400
y = ± 400 = ±20
y = 20

portanto:

Encontrando agora

dy 
dt  y = 20


dy
15
9
= − ⋅ 3 = − = −2,25
dt
20
4

Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo.
O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce.

2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16mde altura e uma base com 4m de raio. A
água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m 3 min . Com que velocidade o nível da água estará se
elevando quando sua profundidade for de 5m?
1- Figura (desenho esquemático)
4m

16 m

rm

hm

2- Definição das variáveis:
t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque.
V → volume em m3 de água.
h → nível em (m) com que a água esta se elevando notanque.
r → raio em (m) do nível da água no tanque.

26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

3

3- Fatos numéricos conhecidos:
dV
m3
= 2 min
dt
dh
m
= ? min quando h = 5m
dt
h = 16m para r = 4m

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t:
h = 4r ⇒ r =
V=

V=

π
3

h
4

⋅r2 ⋅h

π h

2

π

⋅  ⋅ h =
⋅ h3
3 4
3 ⋅16

5-Derivando em relação a t:
V=

π
3 ⋅16

⋅ h3

dV
π
dh π ⋅ h 2 dh
=
⋅3⋅ h2 ⋅
=
dt 3 ⋅16
dt
16 dt
dh
16 dV
=

dt π ⋅ h 2 dt

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Encontrando agora

dh 
dt  h =5


dh 
16 dV
16
32
=

=
⋅2 =
dt  5 π ⋅ h 2 dt π ⋅ 5 2
25 ⋅ π


m
min

dz 
m
= 0,407 min
dt  5


3) Dois carros estão se encaminhando emdireção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a
uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual
eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o
segundo a 0,15km?
Resolução:
1- Figura (desenho esquemático)

)
km
z(

x (km)
direção
leste

direção
sul
y (km)

P

26/02/2008 –...
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