tanques de armazenamento de combustíveis

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Curso de Graduação em Engenharia Mecânica
Modelagem Computacional - R
Instituto Politécnico
2014/2

TANQUES DE ARMAZENAMENTO DE COMBUSTÍVEIS DE POSTOS
REVENDEDORES - PARTE 1: DIMENSIONAMENTO INTERNO

Grupo 3:
Wallace Horsth Klein
Lucas Correia da Silva Jardim
Carlos Ramon de Oliveira Pacheco
Daniel Nogueira
Arthur Stutz

1) MODELAGEM FÍSICO-MATEMÁTICA
1.1) Características geométricas gerais
- Reservatório cilíndricos retos com seção transversal elíptica ou circular
- Três dimensões são necessárias para descrever seu formato: x, y e z.
- A partir de um dado volume V determina-se o dimensionamento interno do tanque

𝑥≥𝑦>0
2V x 2 + y 2
S x, y; V = 2πxy +
,
xy
2

y

z x Figura 1
Equação 1

1.2) O estudo da função S
- O domínio da função S é ilimitado e possui os pontos do seu contorno 𝑥 = 𝑦 > 0
- S é uma função positiva, contínua e diferenciável em seu domínio
- Teorema de máximos e mínimos aplicados a S em D²

2

x=y

y

G
D2
x

(0,0)

Figura 2

1.3) O problema de minimização
- Investigando pontos críticos de S no domínio D² obtém-se a igualdade:

𝑉
2
𝑉
2
=
𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 𝑥2 + 𝑦2

∴

x2 = y2

Equação 2
- Portanto não existem pontos no interior de D² que minimizam S, apenas em seu contorno Γ
- Como consequência a seção transversal do tanque será circular de raio r

r z 1.4) Simplificação do problema de minimização
- A função S passa a ser chamada de “A” e dependerá apenas do raio r:

2𝑉
𝐴 𝑟; 𝑉 = 2𝜋𝑟 +
; 𝑟>0
𝑟
2

Equação 3

- Resolvendo dA/dr = 0 obtém-se o raio minimizante 𝑟𝑚í𝑛

=

3

𝑉
2𝜋

- Substituindo o 𝑟𝑚í𝑛 nas expressões de A e z, encontra-se tais expressões minimizantes:

3

𝑧𝑚í𝑛 =

4𝑉
𝜋

𝐴𝑚í𝑛 =

3

54𝜋𝑉 2