Tampão biologico

1 2 UFAL ´ INSTITUTO DE MATEMATICA ´ CALCULO II - Prova2- 29/01/2013 3 4 5 Total Aluno(A): Curso: Questo 1 C´lcule a ´rea da regi˜o limitada entre as curvas; y = sen x, y = sen 4 x, x = a a a y 0, x = π/2. x x = π/2

Resp:

π/2 0

sin x − sin4 x dx = 1 −

3 π. 16

Questo 2 Encontre o volume do s´lido obtido pela rota¸˜o da regi˜o limitada pelas curvas o ca a em torno dos eixos especificados. Esboce a regi˜o , o s´lido e um disco t´ a o ıpico ou arruela. a) y = x4 , y = 1; ao redor de y = −2. y y=1 x

y = −2

Resp: Usando arruelas:

1 −1

π 32 − (y + 2)2 dx =
1 0

1 −1

π 32 − x4 + 2

2

dx =
368 π. 45

368 π. 45

Usando cascas cil´ ındricas:

2π (y + 2) 2xdy =

1 0

2π (y + 2) 2y1/4 dy =

Questo 3 A base de um s´lido S ´ uma regi˜o el´ o e a ıptica limitada pela curva 9x2 + 4y2 = 36. As sec¸˜es transversais perpendiculares ao eixo x s˜o quadrados com um dos seus lados na co a base. Encontre o volume do s´lido S. o

2 y •
−2 2

• • Solu¸ao: c˜ b a

•

x

A (x) dx =

2 −2

4y2 dx =

2 −2

36 − 9x2 dx. : 96

Questo 4 Calcule as integrais. a)
1 8

x log2 xdx; :

1 x2 4 ln 2

(2 ln x − 1)

b)

sec3 x tan2 xdx. :

1 sin3 x 4 cos4 x

+

1 sin3 x 8 cos2 x

+

1 8

sin x −

ln (sec x + tan x)

Questo 5 Calcule as integrais √ 1 1 −1+x6 a) x2 1 − x6 dx = − 6 x3 √1−x6 + 6 arcsin x3 ;

b)

√

ex dx. : arcsin 3 − e2x

1 3

√

3ex