Séries e sequências resumo

1 – SEQÜÊNCIAS:
1.1-Teste do limite:

Uma seqüência ሼܽ௡ ሽ tem o limite ‫ ܮ‬e escrevemos lim ܽ௡ ൌ ‫ܮ‬
௡՜ஶ

Se o limite de lim௡՜ஶ ܽ௡ existir, dizemos que a seqüência converge (é convergente). Caso contrário, dizemos que seqüência diverge (é divergente). Se para cada número ߝ ൐ 0 existir um correspondente inteiro ܰ tal que: |ܽ௡ െ ‫ |ܮ‬൏ ߝ
Sempre que
݊൐ܰ
Se ܽ௡ ൑ ܾ௡ ൑ ܿ௡ para ݊ ൒ ܰ e lim௡՜ஶ ܽ௡ ൌ lim௡՜ஶ ܿ௡ ൌ ‫ܮ‬, então lim௡՜ஶ ܾ௡ ൌ ‫ܮ‬
A seqüência ሼ‫ ݎ‬௡ ሽ é convergente se െ1 ൏ ‫ ݎ‬൑ 1 e divergente para todos os outros valores de r.
0 ‫ ݁ݏ‬െ 1 ൏ ‫ ݎ‬൏ 1 lim ‫ ݎ‬௡ ൌ ቄ
௡՜ஶ
1 ‫ ݎ ݁ݏ‬ൌ 1
Toda seqüência limitada, monótona, é convergente.

2 – SÉRIES
2.1 – Convergência da série:
Dada uma série ∑ஶ
௡ୀ଴ ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ܽଷ ൅ ‫ڮ‬, seja ‫ݏ‬௡ sua
݊-é‫ ܽ݉݅ݏ‬soma parcial:
௡

‫ݏ‬௡ ൌ ෍ ܽ௜ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ௡
௜ୀଵ

Se a seqüência ሼ‫ݏ‬௡ ሽ for convergente e lim௡՜ஶ ‫ݏ‬௡ ൌ ‫ ݏ‬existir como

um número real, então a série ∑ ܽ௡ é denominada convergente, e escrevemos ஶ

ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ௡ ൅ ‫ ڮ‬ൌ ‫ݏ‬௡ ‫ ݑ݋‬෍ ܽ௡ ൌ ‫ݏ‬
௡ୀଵ

O número ࢙ é a soma da série. Caso contrário, a série é divergente. A
Série
Geométrica
ஶ

෍ ܽ‫ ݎ‬௡ିଵ ൌ ܽ ൅ ܽ‫ ݎ‬൅ ܽ‫ݎ‬² ൅ ‫ڮ‬

௡ୀଵ

Se |‫ |ݎ‬൏ 1 a série geométrica é convergente e sua soma é
ஶ

෍ ܽ‫ ݎ‬௡ିଵ ൌ

௡ୀଵ

ܽ
1െ‫ݎ‬

|‫ |ݎ‬൏ 1

Se |‫ |ݎ‬൒ 1, a série geométrica é divergente.

A Série Harmônica

ஶ

෍

௡ୀଵ

1
1 1 1
ൌ 1൅ ൅ ൅ ൅‫ڮ‬
݊
2 3 4

É divergente.
Se a série ∑ஶ
௡ୀଵ ܽ௡ for convergente, então o lim௡՜ஶ ܽ௡ ൌ 0.
Porém se o lim௡՜ஶ ܽ௡ ൌ 0 não podemos concluir que a série ∑ஶ
௡ୀଵ ܽ௡ seja convergente.
Se o lim௡՜ஶ ܽ௡ não existir ou se lim௡՜ஶ ܽ௡ ് 0, a série ∑ஶ
௡ୀଵ ܽ௡ é divergente. ଵ
A p-série ∑ஶ
௡ୀଵ ௡೛ é convergente se ‫ ݌‬൐ 1 e divergente se ‫ ݌‬൑ 1.
2.2 – O teste da integral:

Suponha que ݂ seja uma função contínua, positiva e decrescente em
ሾ1, ∞ሻ e seja ܽ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ. Então a série ∑∞
௡ୀଵ ܽ௡ é convergente se e
∞
somente se a integral imprópria ‫׬‬ଵ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬for convergente. Em