Surgimento

1. Números Complexos
1.1 – Definição:

Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto, uma extensão do conjunto dos números reais, onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.
O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.
• Adição: (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d).
• Multiplicação: (a, b) . (c, d ) = (ac – bd, ad + bc).
• Igualdade: (a, b) = (c, d ) , onde a = c, b = d.
Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).
Unidade imaginária é indicada pela letra i, sendo que seu valor é (0, 1), onde se realizarmos i2 teremos i.i = (0, 1). (0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i =
Tomando-se um número z = (a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.
Para esta nova notação, iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.
• Adição: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = (c + di), onde a = c, b = d
Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então = a – bi
Teoremas consequentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi , = a – bi e z1 = c + di
Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos:
Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi, |z| =
Pela representação gráfica temos que
Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z = iremos representa-lo na forma trigonométrica.
Sendo que
Onde: