Subespaço gerado

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.

SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
Sejam V um espaço vetorial e A = {v1, v2, ..., vn}  V, A   . O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. De fato, se u = a1v1 + a2v2 + ... + an vn e v = b1v1+b2v2+...+ bnvn são dois quaisquer vetores de S, pode-se escrever:
I) u + v =(a1+b1)v1 +(a2+b2)v2 +...+ (an+bn)vn
II)

 u = (  a1)v1 + (  a2)v2 + .... (  an)vn,

isto é, u + v  S e

 u  S por serem combinações lineares de v1, v2,..., vn. Logo, S é um subespaço vetorial de V.


O subespaço S diz-se gerado pelos vetores v1, v2,..., vn, ou gerado pelo conjunto A e se representa por S = [v1, v2, ..., vn] ou S = G(A).

Os vetores v1,v2, ..., vn são chamados geradores do subespaço S, e A é o conjunto gerador de S.

Todo conjunto A  V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer que G(A) = V, caso em que
A é o conjunto gerador de V.
Exemplos
1) Os vetores e1 = (1, 0)e e2 = (0, 1) geram o espaço vetorial V = combinação linear de e1 e e2:
(x, y)

=

Assim, [e1, e2] =

2

, pois qualquer par (x,y)

xe1 + ye2 x(1,0) + y(0, 1)
(x, 0) + (0, y)
(x, y)

2) Os vetores e1 = (1,0,0) e e2 = (0,1,0) do
(x,y,0) =

2

3

geram o subespaço S={(x,y,0) 

|x,y 

}, pois:

xe1 + ye2 x(1, 0, 0) + y(0, 1,0)
(x,0,0) + (0, y, 0)
(x,y,0),

isto é, [e1, e2] = S é subespaço próprio do

3

e representa geometricamente o plano xOy. (Fig.1.5).



2

é

2
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3) Os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial V =
3
(x, y, z)  é combinação linear de e1, e2 e e3:
(x, y, z) =

3

pois qualquer vetor v =

xe1 + ye2 + ze3 x(1,0,0) + y(0, 1,0) + z(0,0, 1)
(x,0,0) + (0,y,0) +(0,0,z)
(x, y, z).

Assim,