Subaneis

INTRODUÇÃO

O trabalho desenvolvido a seguir, visa complementar a aula sobre a estrutura algébrica anel, aplicada em sala de aula pela mestra. Visa falar sobre sua subestrutura subanel. Começarei com a definição de subanel, teorema e demonstração do tema. Espero desenvolver um bom trabalho sobre o tema.

SUBANÉIS

Definição - Um subconjunto não vazio S de um anel (R, +, ·) é dito ser um subanel de R se, com as operações induzidas pelas operações de R (restrições ), S é um anel.

Teorema - Um subconjunto S ≠ Ø de um anel (R, +, ·) é um subanel de R se, e somente se valem as seguintes afirmações:

(i) Para todo a, b ϵ S→ a-b +(-b) ϵ S

(ii) Para todo a, b ϵ S→ a . b ϵ S

.(→) Se S ⊆ R é um subanel, então para todo a, b ϵ S, temos que −b ϵ S e a ϵ S. Logo a − b ϵ S, pois + é uma operação binária em S e, a . b ϵ S, pois · é uma operação em S.

(←) Sejam + |S: S × S → R e · |S: S × S →R, as restrições de + e . à S. A condição (ii) implica que → · |S: S ×S →S , i . é, . | S é uma operação em S. Mais ainda:

• 0 ϵ S, pois S ≠ Ø→ Ǝ a ϵ S (i)→ = 0 = a − a ϵ S.

• Para todo b ϵ S → −b ϵ S, pois para b ϵ S, como 0 ϵ S
(i)
→ −b = 0 − b ϵ S.
• Para todo a, b ϵ S → a+b ϵ S, pois a+b = a−(−b) e −b ϵ S
(i)
→ a+b ϵ S o que implica que +|S é uma operação em S.

Como a associatividade de +, a comutatividade de +, a associatividade de . e a distributividade valem em R, temos que também valem em S. Assim,( S, +, ·) é um anel, o que mostra que S é um subanel de R.

Exemplo - 2Z é um subanel de Z. Mais geralmente, n Z ⊆ Z são subanéis, para todo n ≥ 0 .
De fato, para todo a, b ϵ n Z → a = nk1, b = nk2, com k1, k2 ϵ Z Assim, a – b =n(k1 − k2) ϵ n Z e a · b = n(k1 k2 n) ϵ n Z.
Seja R = Z6.
S1 = {0,2,4} e S2 = {0, 3} são subanéis de Z6, pois 2 · 4 = 2, −2 = 4 ;
3 = −3, 3 · 3 = 3.
Observe que 1R = 1, 1S1 = 4, 1S2 = 3. Assim, Si ⊆ R são subanéis com 1 tais que: