Su18100

Sucessões Reais
Ana Isabel Matos
DMAT
18 de Outubro de 2000

Conteúdo
1 Noção de Sucessão

2

2 Limite de uma Sucessão

2

3 Sucessões Limitadas

3

4 Propriedades dos Limites

4

5 Limites In…nitos
5.1 Propriedades dos Limites In…nitos . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

6 Sucessões Monótonas

12

7 Subsucessões

14

8 Resultados úteis no cálculo de limites

16

9 Sucessões de…nidas por recorrência
17
9.1 O Método de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 Exercícios Propostos

21

11 Exercícios Complementares

25

1

1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0

1

Noção de Sucessão

De…nição 1 Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação u do conjunto N; dos inteiros positivos, em R, a qual pode ser representada por (un )n2N , (un )n ou simplesmente por (un ). A un chama-se o termo geral da sucessão.
São exemplos de sucessões de números reais: u:N ! n R

! un = n+3 n ;

v:N ! n R

! vn =e

n2

e t:N ! n R
:
p
! tn = 3 sin n

Exemplo 1 A progressão aritmética de razão r e primeiro termo a; cujos termos são a; a + r; a + 2r; : : :, é de…nida por:
1) r , 8n2N :

un = a + (n

Exemplo 2 A progressão geométrica de razão r e primeiro termo a; cujos termos são a; ar; ar2 ; : : :, é de…nida por: un = arn

2

1

, 8n2N :

Limite de uma Sucessão

De…nição 2 Diz-se que o número real a é limite da sucessão (un ) ; ou que (un ) converge ou tende para a; e escreve-se lim un = a ou un ! a ou abreviadamente lim un = a

n!+1

se para qualquer > 0 existe p 2 N tal que para qualquer n > p , jun
Isto é un ! a sse 8 > 0 9 p 2 N : n > p ) jun aj < .

aj < .

Ou seja, un ! a sse para qualquer > 0, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo ]a
; a + [.
De…nição 3 Uma sucessão (un ) diz-se convergente se existe um número real a tal que un ! a. Uma sucessão que não é convergente diz-se divergente.

2

1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0

Exemplo 3 Dada a sucessão de termo geral un = de…nição, que lim un = 0; ou seja que
8 > 0 9p 2 N