Sistemas De Equa Es Lineares

06/05/2015

Sistemas de Equações Lineares
Ana Cristina Silva Matos

Sistemas de Equações Lineares
• Definição: Um sistema S de m equações lineares com n incógnitas, ( m e n inteiros, m  1, n  1 ) é um conjunto com m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente, apresentadas da seguinte forma:
a11 x1  a12 x2 ...a1n xn  b1
a x  a x ...a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
S
.............................................

a m1 x1  a m2 x2 ...a mn xn  bm

aij e bi  R

1

06/05/2015

Sistemas de Equações Lineares
• Uma solução do sistema S é uma n-upla 1 , 2 ,... n  que é solução de cada uma das m equações do sistema. • Um sistema é dito homogêneo se as constantes b1 , b2 ,...bm são todas nulas.
Exemplos:
2 x  2 y  z  5

x  2 y  2z  3
x  y  z  2


1.Considerando o sistema

temos que (1, 2, 1 ) é solução

Sistemas de Equações Lineares
2. O sistema homogêneo

x  y  z  0

3x  4 y  2 z  0
2 x  3 y  z  0


tem ( 0, 0, 0 ) como solução. x  y  z  w 1
3. O sistema 
 x  y  z  2w  2

tem infinitas soluções: Algumas delas: (1,1,0,1); (0,3,1,3)

2

06/05/2015

Sistemas de Equações Lineares
Definição: Dizemos que dois sistemas são eqüivalentes se e somente se toda solução de um deles é também solução do outro.
Exemplo:  x  y  2

3x  y  4 e 

x  y  0
2 x  2 y  0

são equivalentes e (1,1) é solução dos dois

Matrizes Associadas a um Sistema Linear

Dado um sistema linear

a11 x1  a12 x2 ... a1n x n  b1
a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
S
.............................................


a m1 x1  a m2 x2 ... a mn x n  bm

podemos associar as seguintes matrizes a S
1.A matriz dos coeficientes

 a11

 a 21
A
...

 a m1

a12

...

a 22

...

...

...

a m2

...

a1n 

a 2n 
... 

a mn 

2. A matriz das incógnitas
3. A matriz dos termos independentes
 x1 
 
 x2 
X  
...
 
 xn 

 b1 


 b2 
B
... 


 bm 

3

06/05/2015