series ficha

Fdsðwxor 4
Vxfhvvøhv Uhdlv h Vìulhv Qxpìulfdv

1

Exercícios propostos

Sucessões Reais
Exercício 1 Calcule o limite das seguintes sucessões:
1.

n3 +1
;
2n2 −3

2.

n−2
;
n3 +2n2 −2

3.

√ n
;
n2 +n

4.

1+2+3+···+n
;
n2

5.

(n+2)!−n!
;
n!(5n2 +2) n 6. k=0 7.
8.
9.

2k
;
33+2k

√
3n+1
n n +4n sen (
2

+ π) ;

√

n2 + 4 − n cos6 (2n + 1) ;

nn+1
;
nn +2
1

10. (2n2 − 1) n2 +1 ;
4n−3 n
;
4n+1

11.
12.
13.
14.
15.
16.

nn−2
(n+π)n
n

1 n n

1
2n

(n2 + 1) ;

n3 −1
;
4n3 +2 n (2n)!
;
(n!)2

ln (n + 1);
+

1
4n

+

1
6n

+ ··· +

1
.
2n2

Exercício 2 Prove, por definição, que:
1. lim n+senn = 1; n+5 2. lim (n2 + 2) = +∞.
1

Setembro de 2004

Exercício 3 Utilize o teorema das sucessões enquadradas para calcular o limite das seguintes sucessões:
2n+1

1. k=1 2n

2. k=1 3.

√ 1
;
n2 +k

n+cos(kπ)
;
3n2 +1

n!
.
nn

Exercício 4 Estude quanto à monotonia as sucessões de termo geral:
1. an =

4
3

−

2n−1
;
3n

1
2. bn = − en−1 .

Exercício 5 Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
1. A sucessão de termo geral n n+1

an =

3

se n ≤ 10 se n > 10

é divergente;
2. A sucessão de termo geral an =

n n+1 3

se n é par se n é ímpar

é divergente;
3. Se (un ) é uma sucessão decrescente de termos positivos, então (un ) é convergente; 4. Uma sucessão decrescente de termos positivos tende para zero.
Exercício 6 Estude a natureza das seguintes sucessões e indique se são ou não limitadas. Calcule, em cada caso, os limites inferior e superior:
1. an = [2 + (−1)n ] n; n 2. bn = n(−1) ;
3. cn = (−1)n n!;
4. un =

cos(nπ)+cos(2nπ)
.
n

2

Setembro de 2004

Exercício 7 Considere as seguintes proposições simples: a = b = c =

a sucessão (un ) é monótona crescente. a sucessão (un ) é limitada. a sucessão (un ) é convergente.