Series de potencia e Series de Taylor

UNIVERSIDADE CEUMA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
TURMA: 670332
DISCIPLINA: SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

SÉRIES DE POTÊNCIA E SÉRIES DE TAYLOR

São Luís
2013
Séries de Potências

Uma série de potências é uma série da forma:
³ + ... , onde X é uma variável e’s são constantes chamadas coeficientes da série.

As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. O principal objetivo de estudar essas séries, é que é possível representar uma função dada como de potências, essa uma série estratégia é útil para integrar funções que não têm antiderivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.
Denomina-se série de potências, com coeficientes , em volta de(ou centrada em ). Se , temos a série de potencias em volta de zero:

.

Para cada fixo, a série de potências é uma série de constantes que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de e divergir para outros. A soma da série é uma função de , cujo domínio é o conjunto de todos os para os quais a série converge. Esta função assemelha a um polinômio. A única diferença é que tem infinitos termos.

Exemplo:

É uma série de potencias em volta de zero e com coeficientes . Objetivamos, de agora em diante, encontrar os valores de para os quais uma série de potencias seja convergente.

Teorema: Se for convergente para , com , então a série convergirá absolutamente para todo no intervalo aberto.

sendo, por hipótese convergente, segue que

tornando-se , existe um tal que, para todo ,
.
Como , resulta que, para todo e todo , .

Definição:
Chama-se série de potências de x com coeficientes a qualquer série da forma:

ou seja,

É uma série de potencias centrada em x = 0.
A série da forma:

É denominada série de potencias centrada em (ou ainda, ao redor de )

Raio de Convergência
Definição: Chama-se raio de convergência da série