Series de Fourrier
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Séries de FourierSérie de Fourier
Qualquer função periódica f(t) pode ser representada por uma soma infinita de senos e cossenos:
av, an, bn são os coeficientes de Fourier ωo=2*pi/T é a freqüência fundamental da função.
2ωo é o segundo harmônico, 3ωo é o terceiro, etc...
O período de qualquer termo da série é um múltiplo inteiro de T.
Condições de Dirichlet
Condições que f(t) deve satisfazer para que possa ser expressa por meio da série de Fourier: f(t) deve ser unívoca (p/ cada elemento do domínio corresponde um único elemento do contra-domínio);
Deve ter número de descontinuidades finito no intervalo T;
Deve ter número de máximos e mínimos finito no intervalo T; t o+T
A integral
∫t
o
∣ f (t)∣dt
deve existir
Condições de Dirichlet
Funções periódicas geradas por fontes fisicamente realizáveis satisfazem estas condições.
Estas condições são suficientes, mas não necessárias: mesmo que uma função não as satisfaça, ainda pode ser possível expressá-la por Série de Fourier.
Aplicação a circuitos → calcula-se a resposta a cada sinal senoidal e soma-se as respostas (superposição).
Coeficientes de Fourier
Podemos calcular os coeficientes da Série de Fourier por:
Coeficientes de Fourier av corresponde ao valor médio de f(t):
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
Mas:
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
Mas:
t o+T
∫t
o
t o+T
cosm ωo t cos n ωo t dt =∫t
o
1
[cos(m+n)ω o t+cos(m n)ωo t] dt =0
2
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
Mas:
t o+T
∫t
o
t o+T
cos m ωo t dt =∫t
2
o
(1+cos2m ωo t)
1
dt = (t o+T t o )
2
2
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
Mas:
t o+T
∫t
o
t o+T
cosm ωo t sen n ω o t dt =∫t
o
1
[sen (m+n)ω o t sen (m n)ωo t]dt =0
2
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
0
0
Coeficientes de Fourier
Demonstração:
t o+T
∫t
o
∞
t o+T
f (t)sen k ω o t dt =∫t t o+T
∑n =1 ∫t