Sequencias E Series

Seqüências e Séries

Notas de Aula
4º Bimestre/2010
1º ano - Matemática
Cálculo Diferencial e Integral I
Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

Seq¨ uˆ encias e S´ eries Para x ∈ R, podemos em geral, obter senx, ex , lnx, arctgx e valores de outras fun¸co˜es transcendentes utilizando uma calculadora ou uma tabela.
Um problema fundamental consiste em determinar como as calculadoras calculam esses n´ umeros, ou como se constr´oi uma tabela.
As s´eries num´ericas infinitas (somas infinitas) podem ser usadas para obter valores funcionais de uma certa fun¸ca˜o f (x), ou seja, valores aproximados para f (c), c ∈ R.
Portanto, temos que interpretar essas “somas infinitas” e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif´ıcil; e os matem´aticos sabem disso h´a mais de dois milˆenios. E para que n´os tenhamos uma id´eia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a soma infinita,
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ···
Se escrevermos S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · , teremos S = 0. Mas podemos tamb´em escrever S = 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · e agora conclu´ımos que S = 1.
Ainda h´a uma terceira possibilidade, t˜ao leg´ıtima como as anteriores:
S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) = 1 − S ⇒ 2S = 1 ⇒ S = 1/2 .
Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que trˆes respostas diferentes? Claro que n˜ao podemos aceitar nenhuma delas em detrimento das outras.
Este exemplo aponta para a necessidade de se conceituar o que significa “soma infinita”. Como veremos, essa conceitua¸c˜ao excluir´a a possibilidade de somas infinitas do tipo que acabamos de considerar. E para chegar a essa conceitua¸ca˜o devemos primeiro estudar as chamadas “seq¨ uˆ encias num´ ericas”.

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Seq¨ uˆ encias num´ ericas Defini¸c˜ao 1. Uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais ´e uma fun¸c˜ao a : N → R que associa a cada n´ umero natural n a um n´