Senoides E Fasores

EA-513 – Circuitos Elétricos I

DECOM-FEEC-UNICAMP

Capítulo 10
Excitação Senoidal e Fasores

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10.1 Propriedades das Senóides:
Onda senoidal:

Vm

()

( )

v t = Vm sen ω t

π/ω

Amplitude = Vm

-Vm

Frequência angular = ω [rad/s]
Senóide é uma função periódica:

(

) ()

v t +T = v t
Período: T = 2π/ω

Frequência: f = 1/T = ω/2π

Expressão geral: v t = Vm sen ω t + φ

()

onde φ é o ângulo de fase.

(

)

2π/ω

t

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Curva de uma senóide defasada de φ radianos:

()

(

v t = Vm sen ω t + φ

)
()

( )

v t = Vm sen ω t

φ/ω

π/ω

2π/ω

Note que:

! π$ cos #ω t − & = sen ω t
2%
"

( )

! π$ sen #ω t + & = cos ω t
2%
"

( )

t

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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra de mesma frequência.

(

)

v1 = 4cos ω t + 30°

(

)

v2 = −2sen ω t +18°

(

)

v2 = 2sen ω t +18° +180°

(

)

v2 = 2cos ω t +18° +180° − 90°

(

)

v2 = 2cos ω t +108°

Portanto, v1 antecede v2 de 30º - 108º = -78º, ou v1 está defasada em relação a v2 de 78º.

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Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma frequência:

!
$
A
B
Acos ω t + Bsen ω t = A + B # cos ω t + sen ω t &
#" A2 + B 2
%&
A2 + B 2

( )

( )

2

2

( )

()

cos θ

B

( )

()

sen θ

A2 + B 2

θ

A

Acos ω t + Bsen ω t = A2 + B 2 !"cos ω t cos θ + sen ω t sen θ #$

( )

( )

( ) ()

( ) ()

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Acos ω t + Bsen ω t = A2 + B 2 !"cos ω t cos θ + sen ω t sen θ #$

( )

( )

( ) ()

(

( ) ()

cos ω t − θ

Então,

Acos ω t + Bsen ω t = A2 + B 2 "#cos ω t − θ $%

( )

( )

(

" B% θ = tan $ '
# A&
−1

Obs.:

)

cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a - b) cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) = cos(a + b)

)

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Exemplo:

( )

2
−5 +122 "#cos 3t − θ $%

( ) ( )

−5cos 3t +12sen 3t =

(

)

" 12 % θ =