Senhor

2.7 - Distribuição condicional: caso contínuo
Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então a função densidade de probabilidade de X, dado que Y=y é definida para todos os valores y tais que fY(y) > 0, por

Para motivar esta definição, multiplicamos o lado esquerdo da equação por dx e o lado direito por (dx dy)/dy. Desta forma, obtemos

ou seja,

Em outras palavras, para pequenos valores de dx e dy, fX|Y(x|y) dx representa a probabilidade condicional de X estar entre x e x+dx, dado que Y está entre y+dy.

O uso de densidades condicionais nos permite definir probabilidades condicionais de eventos associados com uma variável aleatória quando é dado o valor de uma segunda variável aleatória. Isto é, se X e Y são conjuntamente distribuídas, então para qualquer conjunto A,

Em particular, tomando A=(-∞,a], podemos definir a função de distribuição acumulada de X, dado que Y=y, por

Exemplo 2.7.1: A densidade conjunta de X e Y é dada por

Calcule a densidade condicional de X, dado que Y=y, quando .

Para , , temos

ou seja,

Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas independentes, a densidade condicional de X, dado Y=y, é justamente a densidade não condicional de X. Isto ocorre, pois no caso independente temos

Também podemos falar de distribuições condicionais quando as variáveis aleatórias não são nem conjuntamente contínuas, nem conjuntamente discretas. Por exemplo, suponha que X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f e N é uma variável aleatória discreta e considere a distribuição condicional de X dado que N=n. Então

e, fazendo dx tender a 0, temos

o que nos mostra que a densidade condicional de X dado que N=n é dada por