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Discussão da proposição 20 do Livro IX dos Elementos de Euclides
“Os números primos são mais numerosos do que toda quantidade que tenha sido proposta de números primos.”
Sejam os números primos que tenham sido propostos A, B, C; digo que os números primos são mais numerosos do que A, B, C.

Fique, pois, tomando o menor medido pelos A, B, C e seja o DE, e fique acrescida a unidade DF ao DE. Então, o EF ou é primo ou não. Primeiramente, seja primo; portanto, os números primos A, B, C, EF achados são mais numerosos do que os A, B, C.
Mas, então, não seja primo o EF; portanto, é medido por algum numero primo. Seja medido pelo primo G; digo que G não é o mesmo que algum dos A,
B, C. Pois, se possível, seja. Mas os A, B, C medem o DE; portanto, o G também medirá o DE. E também mede o EF; e o G, sendo um número, medirá a unidade DF restante; o que é absurdo. Portanto, o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. E foi suposto primo. Portanto, os números primos achados,
A, B, C, G são mais numerosos do que a quantidade que tinha sido proposta dos A, B, C; o que era preciso provar.

Resolução

Sejam apenas A, B, C números primos. Desejamos encontrar outro número X que também seja primo. E X seja diferente de A, B ou C. Ou seja, o conjunto de números primos é mais numeroso que apenas A, B, C. O que demonstra a infinitude dos números primos.
Seja um número DE gerado pelos números A, B, C (ou seja, que DE pode ser formado também pelo produto dos números como determina o
Teorema Fundamental da Aritmética) e adicionamos a esse número uma unidade chamada DF. Logo, o número resultante será EF.
Caso EF seja primo, achamos outro primo diferente de A, B, C. Como queríamos. Caso EF não seja primo pelo TFA ele será composto por um primo G, sendo que G é diferente de A, B, C. Achando um novo primo, como queríamos.
Caso G seja gerado por A, B, C, o nosso número EF também será gerado por A, B, C. Entretanto, como ED é gerado pelos mesmos números, pela propriedade

da

divisibilidade