semana_07ap

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Aplica¸ c˜ oes – Semana 07
Temas abordados: Regras da cadeia; Deriva¸c˜ao impl´ıcita; Derivada de fun¸c˜oes inversas
Se¸c˜oes do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Suponha que a rela¸c˜ao entre o comprimento L, em metros, e o peso P , em kg, de um determinado peixe seja dada por P (L) = 10L3 . Suponha ainda que a taxa de varia¸c˜ao do comprimento em rela¸c˜ao ao tempo, dado em anos, satisfaz a equa¸c˜ao d L(t) = 0, 2 (2 − L(t)). dt (a) Determine o comprimento do peixe no caso em que P = 20 kg.
(b) Determine a taxa de varia¸c˜ao do peso em rela¸c˜ao ao tempo.
(c) Use os itens anteriores para determinar a taxa de varia¸c˜ao do peso do peixe, em rela¸c˜ao ao tempo, para um peixe de 20 kg.
2) Um avi˜ao de ca¸ca sobrevoa uma cidade percorrendo uma trajet´oria retil´ınea conforme a figura abaixo. Sua posi¸c˜ao escalar sobre tal trajet´oria ´e uma fun¸c˜ao do tempo x(t) = 3t−2 se t ≤ 1 e x(t) = t3 se t > 1, onde t ´e o tempo medido em minutos. A distˆancia entre o ca¸ca e a cidade ´e dada por y(t) = H 2 + x2 (t).
(a) Calcule os limites laterais lim± h→0

x(1 + h) − x(1) h e em seguida decida sobre a existˆencia de x′ (1).
(b) Determine a velocidade escalar do avi˜ao v(t) = x′ (t), para cada t real.
√

d f (z). dz d
(d) Sabendo que y(t) = f (x(t)), determine y(t). dt (e) Em quais instantes o avi˜ao se aproxima e em quais ele se afasta da cidade?
(c) Dada f (z) =

H 2 + z 2 , encontre

Lista de Aplica¸c˜oes da Semana 07 - P´agina 1 de 3

3) Indique por W (V ) o trabalho realizado por um g´as ideal ao se expandir isotermicamente, desde um volume inicial V0 at´e o volume V . Pode-se mostrar que em unidades apropriaV
, onde C > 0 ´e uma constante que depende da temperatura e das, W (V ) = C · ln
V0
do n´ umero de mols do g´as. Suponha que o volume seja uma fun¸c˜ao do tempo dada por
V (t) = 2t4 + 1, t ≥ 0. A potˆencia gerada pelo sistema ´e a taxa de varia¸c˜ao do trabalho em rela¸c˜ao ao tempo.
(a)