Sem T Tulo 1

Aplicação da Derivada

Acadêmico: Paulo Henrique Rosa Mota Silva.
Professora: Regina da Fonseca.

SUMÁRIO

1. Máximos e Mínimos 03
1.1 Definição;
1.2 Proposição;
1.3 Exemplos.

2.Teoremas sobre Derivadas
2.1 Teorema de Rolle;
2.2 Teorema do Valor Médio;
2.3 Exemplos.

3.Funções Crescentes e Decrescentes
3.1 Definição;
3.2 Proposição;
3.3 Exemplos.

4.Critérios para determinar os Extremos de Funções
4.1 Teorema – Critério da 1º derivada;
4.2 Teorema – Critério da 2º derivada;
4.3 Dois exemplos

5.Concavidade e Pontos de Inflexão
5.1 Definição;
5.2 Proposição;
5.3 Exemplos.

6. Regra de L'Hospital
6.1 Proposição;
6.2 Dois exemplos.

7. Fórmula de Taylor
7.1 Definição;
7.2 Proposição;
7.3 Exemplos.

1.Máximos e Mínimos
1.1 Definição

A figura ao lado mostra o gráfico de uma função y=f(x), onde assinalamos pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os valores f(x1) e f(x3) são chamados máximos relativos e f(x2), f(x4) são chamados mínimos relativos.

Uma função tem um máximo relativo em , se existir um intervalo abertocontendo , tal quepara todo ϵ ᴖ .

Uma função tem um mínimo relativo em, se existir intervalo aberto, contendo, tal quepara todo ϵ ᴖ.

1.2 Proposição

Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ϵ (a,b) e que f tem um extremo relativo em c, onde a<c<b. Se f'(c) existe, então f'(c)=0

Prova: Suponhamos que tem um ponto de máximo relativo em e que existe.
Então,

Por (1) e (2), concluímos que f'(c)=0

Se tem um ponto de mínimo relativo em , a demonstração é análoga. Esta proposição pode ser interpreta geometricamente. Setem um extremo relativo em e se existe, então o gráfico de tem uma reta tangente horizontal no ponto onde .

Da proposição, podemos concluir que, quando existe, a condição é necessária para a existência de um extremo relativo em. Esta