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Exemplos de diferente dificuldade do método de indução matemática
Maio 4, 2009 in Exercícios Matemáticos, Indução matemática, Matemática, Matemáticas Gerais | Tags: Exercícios, Matemática
Neste blogue já descrevi e utilizei o método de indução matemática em certas demonstrações. Nesta entrada apresento dois novos exemplos, ilustrativos de que nem todas as provas por indução têm o mesmo grau de dificuldade. Enquanto a do 1º. é extremamente simples e natural, a do 2º. obtive-a após tentativas, recorrendo a uma identidade algébrica auxiliar — a ser usada no passo de indução — cuja demonstração me pareceu mais simples do que a identidade inicialmente apresentada, que pode ser deduzida a partir da regra de Ruffini de divisão de um polinómio em , de grau , por .
Exemplo 1: prove por indução matemática

Para a igualdade verifica-se:

Admite-se que se verifica para

e prova-se que nesse caso também se verifica para , ou seja, devemos chegar a

Vejamos: se

então, somando a ambos os membros da igualdade e simplificando o segundo membro, deduzimos sucessivamente

Ora, como

provámos deste modo que a igualdade se verifica para qualquer inteiro .
Exemplo 2: se for um inteiro positivo, prove

Para , temos .
Antes de aplicar a hipótese de indução, a ideia fundamental consiste em mostrar a validade da identidade auxiliar

em que
.
De facto

e

Mas

e

Subtraindo membro a membro, vem

pelo que fica provada a identidade da qual se tira

Assim, admitindo que

resulta que

como se queria mostrar.
Veja aqui um exercício sobre este método. here is a very instructive lesson on induction that one may learn from the first example you gave. Instead of asking a student to prove the statement in Example 1, if she is asked to prove the statement using induction then she quickly runs into trouble. (You may try it yourself!) This is because the statement is not strong enough to prove the statement when we do the inductive step.