Segunda tarefa de cálculo ii - zumpano

Segunda Tarefa de Cálculo II

Segundo semestre de 2011

Responda às questões abaixo e justifique suas respostas. Descreva o seu raciocínio e explique o significado das equações ou funções que venham a ser utilizadas. Comente a intenção de cada procedimento.

Questão um (10 pontos)

(a) Considere a superfície de equação z+x2+y2=1. Encontre um vetor normal e a equação do plano tangente, a essa superfície, no ponto (1, 1, -1).

Equação da Superfície: F(x, y, z) = z + x2+ y2-1

Temos:

fx (x, y, z) = 2x

fy (x, y, z) = 2y

fz(x, y, z) = 1

Vetor normal a essa superfície no ponto ( x0, y0, z0):

N = (fx ( x0, y0, z0), fy x0, y0, z0, fz x0, y0, z0)

N= 2x0, 2y0, 1

No ponto (1, 1, -1) temos N = (2, 2, 1).

Equação Plano tangente a essa superfície:

fxx0, y0, z0 x-x0 + fyx0, y0, z0 y-y0 + fzx0, y0, z0 z-z0=0

2x0 x-x0 + 2y0 y-y0 +1 z-z0=0

2(x- 1) + 2(y- 1) + 1(z + 1) = 0

2x + 2y + z - 3 = 0

(b) Uma partícula de massa unitária percorre a superfície cilíndrica cuja equação é dadapro x2+y2=1, segundo a trajetória u(t) = (cos2πt2-8t, sen2πt2– 8t, t). No instante t= 4, cessam todas as forças que atuavam na massa até então. Descreva a trajetória da partícula a partir desse instante. Mostre que a partícula permanece no cilindro durantetodo o tempo e que sua trajetória é uma reta contida em um plano tangente ao cilindro.

A Partícula percorre a superfície cilíndrica de equação x2+y2=1.

Trajetória da partícula: u(t) = (cos2πt2-8t, sen2πt2– 8t, t)

A Trajetória da Partícula a partir de t = 4: Observe que u(t) = (x(t); y(t); z(t)) em que x(t) = (cos2πt2-8t, yt= sen2πt2– 8t, e z t=t.

Como(x(t))2+ (y(t))2 = (cos2πt2-8t2, sen2πt2-8t2=1, a partícula permanece no cilindro durante todo o tempo.

A partir daí, a posição (x,y,z) da partícula está acima do ponto (x,y,4), e a partícula se move em sentido anti-horário (sentido do círculo trigonométrico) em torno da circunferência x2+y2=1 no plano xy. Como z = t, a curva que