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Aula 2: Vetores – tratamento algébrico
Vetores no R2 e no R3
Decomposição de vetores no plano ( R2 )

Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, então qualquer vetor v pode ser decomposto nas direções de v1 e v2 . O problema é determinar os dois vetores que tem a direção de v1 e v2 e cuja soma seja igual a v , ou seja, é preciso obter dois números reais

e

, de modo que:

conforme o desenho abaixo:

No desenho acima, dizemos que v é combinação linear dos vetores v1 e v2 por meio dos números reais

e

. O conjunto

,formado pelos vetores

não colineares, v1 e v2 , é chamado de base e os números reais chamados de coordenadas de v em relação à base

O vetor maneira, o vetor figura acima.

é a projeção do vetor é a projeção do vetor

, sobre
, sobre

e

são

.

, na direção de
, na direção de

. De mesma
, conforme

De acordo com o exposto acima, podemos construir infinitas bases. Para facilitar nosso trabalho, são utilizadas comummente as bases ortonormais, que são bases cujos vetores são ortogonais e unitários.
Assim, uma base formada pelos vetores e1 e e 2 é dita ortonormal se:


e

Veja um exemplo abaixo, utilizando o plano cartesiano xOy:

Os vetores

w , m , u , x e y podem ser representados na figura acima, em

função de e1 e e 2 , como sendo:

w  2 e1  2 e 2 m   e1  3 e 2 u  2 e1  e 2 x  3 e1  0 e 2 y  0 e1  2 e 2

De modo geral: v  a1 e1  a 2 e 2 , com a1, a2  IR.
Dizemos que os vetores

w , m , u , x e y são expressos em função de





e1 e e 2 ou que são combinações lineares da base B = e1 , e 2 .

Base canônica:
Existem infinitas bases ortonormais no plano cartesiano ortogonal xOy, no entanto uma delas é mais notável. É a base formada pelos vetores

e

cujos

representantes tem sua origem no ponto (0,0) e suas extremidades em (1,0) para o vetor , e em (0,1) para o vetor . O conjunto

é chamado de base canônica,

conforme a figura abaixo: