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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 10
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS

1 TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜ2
Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origem
O1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1),

x = x1 + h em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que: 
, chamadas de
y = y1 + k equações de translação no ℜ2.
Oy

Oy1

y

y1

k

O1

O

P(x,y)≡(x1,y1)

x1

Ox1

x

h

Ox

Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo
(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).

Exemplo (1): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).
Solução:

Usando

as

equações

x1 = 5 − (−3) = 8
⇒ P(x1, y1) = (8,−5)

y1 = −3 − 2 = −5

de

translação,

x1 = x − h

y1 = y − k

teremos:

Oy 1
Oy
O1(-3,2)

k=2
8

h=-3
-5

O
-3

Ox 1

5

Ox

P(5,-3)≡(8,-5)

⇒

105

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 2x2 + 3y2 − 8x + 6y − 7 = 0 , depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).

x = x1 + h
x = x1 + 2
Solução: Fazendo: 
⇒
na equação da elipse, teremos: y = y1 + k

y = y1 − 1
2(x1 + 2)2 + 3(y1 − 1)2 − 8(x1 + 2) + 6(y1 − 1) − 7 = 0

⇒

2
2
2x1 + 3y1 − 18 = 0

⇒

2
2
x2 y2
2x1 3y1 18
+
=
⇒ 1 + 1 = 1 . Note que, a equação reduzida da elipse, antes da
9
6
18
18
18

translação era

(x − 2)2 (y + 1)2
+
= 1 , cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi feita
9
6

uma translação para o centro da elipse.
Oy

Oy 1

-1

2

5

x
-1

C

Ox

Ox 1

OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de uma cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a nova origem O1(h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3).

Exemplo