Série de fourier

Série Dupla de Fourier:

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__________________ 1. Introdução

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano, se:

( i ) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível excessão de um número finito de pontos, ou ao longo de um numero finito de arcos diferenciáveis simples, ou em ambos. (ii) existe [pic] ()
2. As séries de Fourier

2.1 Condições para a existência de uma série de Fourier:

• Esta série seja uniformemente convergente para f(t) • As funções envolvidas nos cálculos sejam absolutamente integráveis e como conseqüência disto, integráveis • A função f(t) seja seccionalmente diferenciável

Muitas vezes algumas dessas condições se sobrepõe e são desnecessárias. Se f(t) é uma função T-periódica, então esta função possui componentes cos (nω0t) e sen (nω0t) cujos argumentos são freqüências múltiplas inteiras da freqüência angular ω0 do sinal. Esta função pode, então, ser representada pela série trigonométrica: f(t) = ao/2 + a1cos ω0t + a2cos2 ω0t + ...+ b1cosω0t + b2cos 2ω0t +...
[pic]

Onde ωo = 2π/T

As séries de Fourier são um caso particular da transformada de Fourier e permitem decompor uma função periódica qualquer na soma de um número infinito de funções senoidais com diferentes freqüências e amplitudes.

3. Construção da Transformada de Fourier

Supondo f(t) periódica com período T, então f(t) pode ser expressa como

[pic] , ωo = 2π/T onde

[pic]

Agora, considerando que, quando T ⋄ ∞, ωo⋄∆ω = 2π∆f, ∆f = 1/T, então as equações anteriores se transformam em:

[pic]

e

[pic]

Observa-se que quando ∆ω ⋄ 0, n ⋄ ∞, tal que n∆ω ⋄ω. Em outras palavras, no limite, em vez de harmônicos discretos correspondem a nωo é considerado cada valor de ω. Então, em lugar de cn, tem-se c(ω) e da última equação pode-se obter:
[pic]
Em virtude disso vem: F(ω)df = c(ω) e