Séries numéricas e séries de funções

Introdução O objectivo deste trabalho surge no âmbito da disciplina de Matemática I e visa apresentar dois temas gerais que passo a citar: “Séries numéricas” e “Séries de Funções”. Tentámos procurar definições e casos susceptíveis das mesmas, entre elas, Séries Geométricas e Séries de Dirichlet, algumas das suas propriedades, critérios de termo geral para divergência, séries de termo não negativos, e séries absolutamente/simplesmente convergentes. No que toca ao segundo tema (Séries de Funções), procurámos exemplos de Séries de Potências, Taylor e de MacLaurin.

1.Séries Numéricas Qualquer expressão do tipo n=1∞Un = U1 + U2 + … + Un + … , denomina-se uma série numérica ou série de números reais, sendo Un o termo geral da sucessão. Chama-se sucessão de somas parciais ou sucessão associada da série n=1∞Un à sucessão (Sn)n IN de termo geral Sn = U1 + U2 + … + Un = i=1nUi

Uma série numérica é dita convergente se e só se existir um limite real da sucessão ou seja: Se lim (n→+∞) Sn = k, kIR diz-se que a série n=1∞Un é convergente e escreve-se n=1∞Un = S. Assim uma série numérica é convergente se e só se a sucessão associada é convergente. A soma de uma série convergente n=1∞An é o limite da sucessão associada. Uma série que não é convergente diz-se divergente, e sabemos que esta não tem soma. Diremos ainda que uma série divergente cuja sucessão associada tem limite +∞ ou -∞ tem soma igual a +∞ ou -∞, respectivamente. 1.1 Séries Geométricas Chamamos série geométrica à série n=1∞An em que An+1 = rAn , n IN sendo r uma constante que se designa por razão da série. A série pode escrever-se na forma n=1∞ar(n-1) onde a é uma constante e o 1º termo da série. A série n=1∞ar(n-1) , com a≠0, é divergente se e só se |r|≥1; A série n=1∞ar(n-1) , com a≠0, é convergente se e só se |r|<1 e neste