Ruth Hurwitz

03/05/2011

6.2. O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um método de investigar a estabilidade de um sistema linear (vide Ogata).
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz verifica se todos os pólos de uma função de transferência pertence ao semi-plano esquerdo do plano-s.
Suponha que a função de transferência é da forma:

b0s m + b1s m −1 + ... + bm −1s + bm
G (s ) =
, a0 ≠ 0 a0s n + a1s n −1 + ... + an −1s + an
1ºpasso: identifique apenas o denominador de G(s):

D (s ) = a0s n + a1s n −1 + ... + an −1s + an

(1)

2ºpasso: verifique se qualquer destas constantes (ai) é igual a zero ou, negativa na presença de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o sistema é instável e não é necessário executar os próximos passos.
Do contrário, nada pode-se concluir, vá para o 3º passo.
1

3ºpasso: construa a seguinte tabela:

Os elementos a0, a1, ...,an são os coeficientes do denominador D(s) da equação (1).
2

1

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Os elementos b1, b2, b3, ..., c1, c2, ... e todos os demais são calculados com as seguintes expressões:

3

4ºpasso: aplique o seguinte critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
“O número de raízes de D(s) (pólos de G(s)) com parte real maior que zero (positivo) é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela construída no 3ºpasso.”
Obs.: se pelo menos um elemento da 1ª. coluna for nulo ou se uma linha toda for nula, deve-se observar o caso especial que mostraremos mais adiante.
Exemplo: Seja

G (s ) =

2s + 1 s + 2s + 3s 2 + 4s + 5
4

3

estude sua estabilidade.

Sol.:
1º passo:

D (s ) = s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5

2ºpasso: todos coeficientes de D(s) são positivos portanto nada pode-se concluir.

4

2

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3ºpasso:

Neste caso, os elementos da 1ºcoluna são:

5

Exemplo: Determine se o sistema é estável ou instável:

s 2 + s −1 s 3 + 3s 2 − s + 5