Runge Kutta 4ª Ordem

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO
RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
MECÂNICA

Métodos Numéricos Para Equações Diferenciais

Aplicação do Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem Para
Solução de um Sistema Massa-Mola-Amortecedor

Alexandre de Mello e Alvim Pacheco
Vitor Joachim Cortines

Nova Friburgo
2009

1- Proposta
1.1.

Objetivo

Esse trabalho tem como objetivo atestar a validade do método de RK4 (Runge-Kutta de quarta ordem) para se aproximar de maneira satisfatória as soluções analíticas. Para que seja comprovada a validade do método de RK4 será elaborado um software que calcule os valores analíticos, numéricos e calcule os erros para cada ponto.

1.2.

Constantes Físicas, Condições Iniciais e Dados de Entrada
Dois casos serão estudados:
Primeiro caso:

k = 0,5

c = 0 →  k = 1,0
 k = 1,5

Segundo caso:

 k = 0,3

c = 1 →  k = 1,5
k = 15,0

Para ambos os casos serão usados os valores de m = 1 , ∆t = 0,1 e t = 15 .
1.3.

Solução analítica
P=

−A
2

 A2 
Q = B− 
 4 
 



P y (t ) = y0 exp(Pt ) ⋅ cos(Qt ) −   ⋅ sen(Qt )
Q
 


 P2 + Q2  dy = − y0 exp(Pt ) ⋅ 
 Q  ⋅ sen(Qt )

dt


1.4.

Solução Numérica

A solução da equação será realizada mediante a solução do sistema equivalente de duas equações ordinárias de primeira ordem.

dy
=v
dt dv = −( Av + By ) dt 2. Software
2.1.

Detalhes

O software foi desenvolvido em C devido a sua simplicidade e grande portabilidade entre os mais diversos sistemas operacionais.

2.2.

Código fonte

#include
#include
#include
//VARIÁVEIS GLOBAIS///////////////////////////////////////////////////////////// float A, B;
//FUNÇÃO PARA CALCULAR A VELOCIDADE///////////////////////////////////////////// float fpos(float y, float v)
{
return v;
}
//FUNÇÃO PARA CALCULAR A POSIÇÃO//////////////////////////////////////////////// float fvel(float y, float v)
{
return -(A*v