RETAS

Retas
Equações de uma reta

Equação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0

(equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n): se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos:
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r. Equação segmentária Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq , temos:

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t. Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r. Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações: x = t + 2 t = x -2 Substituindo esse valor em y = -