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Páginas: 10 (2285 palavras) Publicado: 6 de setembro de 2013
1. Matrizes — T
1.1def (a) Dá-se o nome de matriz a um quadro em que os seus
elementos estão dispostos por linha e colunas. Por regra,
denotam-se matrizes por letras maiúsculas e os elementos duma matriz por letras minúsculas acompanhadas
de dois índices. Neste último caso, o primeiro índice indica a linha em que o elemento se encontra e o segundo
indica a coluna do elemento. Assim, oelemento aij é
o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz
A = [aij ].
(b) Sejam m, n ∈ N. Então, A diz-se uma matriz do tipo
m × n (que se lê “matriz do tipo m por n”) se for um
quadro com mn elementos dispostos em m linhas e n
colunas. Escreve-se Am×n ou [aij ]m×n e representa-se
por


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 
A= .
. ... .  .
 .
.
. 
am1 am2 · · · amn1.2obs (a) Embora, neste curso, adoptemos parêntesis rectos para
delimitar matrizes, é também habitual usar parêntesis
curvos.
(b) Se necessário, usa-se uma vírgula para separar o índice
relativo à linha do índice relativo à coluna, i.e., ai,j .

1. Matrizes — T

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1.3def Seja a matriz A. Então,
(a) A diz-se uma matriz real se todos os seus elementos
forem números reais.
(b) Adiz-se uma matriz complexa se todos os seus elementos forem números complexos, tendo pelo menos um
deles parte imaginária não nula.
1.4obs Neste curso fazemos apenas referência a matrizes reais e
matrizes complexas, onde denotaremos por Rm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n, por Cm×n
o conjunto de todas as matrizes complexas do tipo m × n e
por Km×n o conjunto de todas asmatrizes do tipo m × n,
independentemente de serem matrizes reais ou complexas.
1.5def Seja a matriz A ∈ Km×n. Então,
(a) A diz-se uma matriz rectangular se m = n.
(b) A diz-se uma matriz quadrada se m = n. Diz-se neste
caso que A é uma matriz de ordem n.
1.6exe (a) Exemplo de uma matriz real do tipo 2 × 3:

(b) O elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz
da alínea anterior:
(c)Exemplo de uma matriz complexa de ordem 2:

1. Matrizes — T

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1.7def Seja a matriz A = [aij ] ∈ Km×n. Então,
(a) A diz-se uma matriz coluna se n = 1, i.e., se tiver a
forma
 
a11
 a21 
A =  . .
 . 
am1
(b) A diz-se uma matriz linha se m = 1, i.e., se tiver a
forma
A = a11 a12 · · · a1n .
1.8obs Por vezes representaremos matrizes linha e matrizes coluna
por letrasminúsculas e os seus elementos apenas com um
índice. Assim, usando esta notação, as formas da matriz
coluna x e da matriz linha y serão:
 
x1
 x2 
x =  .  , y = y1 y2 · · · yn .
 . 
xm
1.9exe (a) Exemplo de uma matriz coluna com 2 elementos:

(b) Exemplo de uma matriz linha com p elementos:

1. Matrizes — T

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1.10def Seja a matriz (quadrada) A = [aij ] ∈ Kn×n. Então,
(a)chama-se diagonal principal da matriz A ou
simplesmente diagonal da matriz A aos elementos {a11, a22, . . . , ann} da matriz A. Aos elementos
{a1n, a2,n−1, . . . , an1} chama-se diagonal secundária
de A.
(b) A diz-se uma matriz diagonal se i = j ⇒ aij = 0, i.e.,
todos os elementos fora da diagonal são zeros.
(c) A diz-se uma matriz triangular superior se i > j ⇒
aij = 0, i.e., todos oselementos “abaixo” da diagonal são
zeros.
(d) A diz-se uma matriz triangular inferior se i < j ⇒
aij = 0, i.e., todos os elementos “acima” da diagonal são
zeros.
1.11exe (a) Exemplo de uma matriz diagonal de ordem 3:

(b) Exemplo de uma matriz triangular superior:

(c) Exemplo de uma matriz triangular inferior de ordem 3:

(d) Diagonal principal da matriz da alínea (c):
(e) Diagonal secundáriada matriz da alínea (c):

1. Matrizes — T

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1.12def (a) Chama-se matriz nula a qualquer matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Representa-se a matriz nula
por 0 e a matriz nula do tipo m × n por 0m×n.
(b) Chama-se matriz identidade à matriz diagonal cujos elementos da diagonal são todos iguais a um.
Representa-se a matriz identidade por I e a matriz identidade de ordem n...
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